在数学发展的过程中, 人们的认识是不断变化的.在各个历史阶段, 人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种“反常”现象用当时的数学理论解释不了, 并且因此影响到数学的基础时, 我们就说数学发生了危机.许多学者并不赞成使用“危机”这个词, 因为它们并没有太大阻碍数学的发展.在历史上, 数学曾发生过三次危机, 这三次危机从产生到消除所经历的时间各不相同, 但都极大地推动了数学的发展, 成为数学史上的佳话.

第一次数学危机是指毕达哥拉斯悖论.他们一直认为宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比.可是在勾股定理的应用中他们却发现了一些直角三角形的斜边不能表示为整数或整数之比的情形, 如直角边长均为1的直角三角形就是如此.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条, 导致了当时认识上的“危机”, 从而产生了第一次数学危机.这个悖论表明, 几何学的某些真理与算术无关, 几何量不能完全由整数及其比来表示, 反之却可以由几何量表示出来, 为此整数的权威地位开始动摇, 而几何学的地位开始升高了.第一次数学危机使得数学家们正式研究了无理数, 给出了无理数的严格定理, 提出了一个含有有理数和无理数的新数类——实数, 并建立了完整的实数理论.这样, 第一次数学危机就告一段落了.第一次数学危机的产生导致了以后数域的扩展, 为数学的发展作出了不朽的贡献.

一波未平, 一波又起.17世纪, 牛顿和德国数学家莱布尼兹首创了微积分, 当时微积分只有方法, 没有严密的理论作为基础, 许多地方存在着漏洞, 使得英国哲学家贝克莱的矛头直接指向了微积分的基础——无穷小的问题, 导致了第二次数学危机的产生, 即贝克莱悖论——无穷小是零吗?由于第二次数学危机的出现咄咄逼人, 逼得数学家们不得不认真地对待“无穷小量”, 设法克服由此引起的思维上的混乱, 去解决问题.在这悖论的解决上法国数学家柯西起了举足轻重的作用.他建立了极限理论, 提出了“无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量”, 把微积分建立在坚实的极限理论之上.悖论所产生的危机使得数学衍生出新的问题, 接着解决这些问题, 使得数学逐渐的形成新的理论体系, 不断地进行完善.所以说数学发展到一定的阶段, 危机就成为推动数学发展的主要动力.

数学史上第三次危机, 是由于突然地冲击而出现的.这次危机是在康托的一般集合理论的边缘发现悖论所造成的.其中最著名的是英国数学家罗素所给出的“罗素悖论”, 它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸, 并且, 只给村里这样的人刮脸.当人们试图回答下列疑问时, 就认识到了这种情况的悖论性质:“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸, 那么按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸, 那么他就不符合他的原则.当然这是通俗化的一个比较具体的例子.罗素悖论的出现使整个数学大厦动摇了, 这一动摇所带来的震撼是空前的.罗素认为:要避免悖论只要遵循消除恶性循环的原理:“凡是涉及一个集体的整体对象, 它本身不能是该集体的成员.”为此, 罗素提出了至今仍然是数理逻辑中的主要系统的分支类型论.最终, 经过数学家们的许多努力, 对集合的任意性加以适当的限制, 共同形成了一个完整的集合论公理体系, 不仅消除了罗素悖论, 而且消除了集合论中的其他悖论, 第三次数学危机也随之销声匿迹了.

从三次危机中我们学到了数学家们的一些哲学思想, 这些哲学思想在数学的发展中起着举足轻重的作用.对数学理论所坚持的清晰性、易懂性原则, 更应以之作为对一个堪称完善的数学悖论的要求.因此, 清晰性、易于理解的问题吸引着人们的兴趣, 而复杂的问题却使人望而却步.在通向隐藏真理的曲折道路上, 它应该是指引我们前进的一盏明灯, 并最终以成功的喜悦作为对人们的报偿.数学史上的这三次危机不仅对整个数学的发展, 而且对现代数学也起着非常重要的作用.由于每次危机的提出都使数学家们有新思想的产生, 而导致了数学理论的严谨性.就拿第二次危机来说, 极限概念的提出为我们现在学习微积分带来了方便, 并且使数学更具有多样性, 产生了连续性、微分和定积分.由此可以看出数学危机在推动数学发展中的丰功伟绩.