柏拉图

圆是数学的概念，圆是客观存在的，无论是我们能够感觉到的乒乓球，足球，还是我们能够分析出的行星运动的轨迹都显示了这种存在性；三角形也是数学概念，三角形也是客观存在的，甚至我们还可能知道三角形稳定性这样的性质，这就是柏拉图的想法。但是，这些概念是如何存在的呢？

柏拉图人为人的经验是不可靠的，经验可能随着时间的改变而改变，也可能随着场合的改变而改变，因此所有基于经验的概念不仅是不可靠的，也是不可能的。这样，数学的概念就不应当是经验意义上的存在，而应当是一种永恒的存在。你踢足球时感悟到了圆，但你不踢足球的时候，圆这个概念依然是存在的；你在黑板上画了一个三角形，三角形是存在的，你把这个三角形擦掉，三角形这个概念依然是存在的。为了更好地解释，柏拉图把这种永恒的存在称为理念，并且人为只有理念才是真正的存在。亚里士多德是这样阐述柏拉图的这种想法的：

“柏拉图认为定义是关于非感性事物的，而不是那些感性事物的。正是由于感性事物不断变化，所以不能有一个共同定义。他一方面把非感性的东西称为理念，另一方面把感性的东西作为说明置于理念之外。柏拉图认为，只有理念才得以存在。”

亚里士多德的这个总结是精辟且准确的，柏拉图在他的著作中的许多地方都提到这些观点。回忆我们在《图形抽象的思想基础》中曾经引用过的，柏拉图在《理想国》中借用苏格拉底之口说出他的这个观点，为了便于进一步分析，把那一段文字再次引用如下：

“你也知道，虽然他们利用各种可见的图形讨论它们，但是，处于他们思考中的实际并不是这些图形，而是图形所摹仿的那些东西。他们讨论的并不是他们所画的某个特殊的正方形或某个特殊的对角线等等，而是正方形本身，对角线本身。他们所画的图形乃是实物，有其水中的影子或影像。但是，现在他们又把这些东西当作影像，而他们实际要求看到的则是只有用思想才能“看到”的那些实在。”

依据柏拉图的说法，我们的肉眼看到的都是一些影子，只有思想才可能看到实在，那么，思想能够看到的那些实在是如何存在的呢？思想又是如何“看到”那些实在的呢？显然，这些问题进一步引发出来的问题是，人们能够得到概念的原因究竟是什么？于是，柏拉图给出了他的有名的洞穴的比喻，在《理想国》的第七章柏拉图用很大的篇幅借助这个比喻述说了他的思想，罗素在《西方哲学史》中把这个比喻进行了归纳：

“那个比喻是说，缺乏哲学的人可以比做被关在洞穴里的囚犯，他们只能朝一个方向看，因为他们被锁着；他们背后燃烧着火，他们面对的是墙。在他们与墙之间什么也没有；他们看到的只有他们自己何背后东西的影子，这是由火光投射到墙上的。他们不可避免地把这些影子看成实在，而对于造成这些影子地东西却毫无观念。后来有一个人逃出了洞穴来到光天化日之下，他第一次看到了实在的事物，才觉察到他以前一直是被影像所欺骗的。”

问题已经很清楚了，按照柏拉图的说法，我们通常看到的那些事物只不过是火光照射在墙上的影子，而真正存在着的事物是在我们的背后，这种真正存在的事物只有用思想，或者借助笛卡尔的话，只有用心灵之光才可能看见。

柏拉图这个关于理念的学说显然是荒唐的，对于现代人来说，这个荒唐几乎不用思索就可以判断。但是，柏拉图的学说之中具有相当合理的成分，正如罗素评价的那样：“一切开端总归是粗糙的，但是我们不应该因此便忽略它们的创造性。”在这里，是柏拉图第一个强调了概念的一般性，这标志着哲学的重大进步，也为科学的数学的形成奠定了思想基础。比如，数学，或者说几何学必须讨论研究一般意义上的直角三角形的性质，而不是研究某一个人在某一个时候所画的某个具体的直角三角形，因为科学必须保证，从同样的条件出发，只要操作是规范的，无论是谁，无论在什么时候，无论在什么地方，得到的结论都是一样的。

过去以及现在的许多哲学家，数学家都认可柏拉图的说法，认为有一个理念的世界存在，数学的概念和命题都是这个客观存在的理念世界的内容。因为理念是知识的原本，如果真如柏拉图所说这些理念是客观存在，那么人们之所以能够获得知识，是因为用思想“看到”了这个存在，或者说，用心灵“感悟”了这个存在，也就是说，是人们“发现”了知识。这样，真正知识的获得只能通过对理念的哲学思考，而不是通过对现实的事物的观察分析。

亚里士多德

但是，理念或者说一般的概念，真如柏拉图所说是客观存在吗？亚里士多德不同意柏拉图的观点，他在《形而上学》一书中反驳道：

“现在，我们来谈那些设定理念为原因的人。首先，他们引进理念是为了把握周边事物的原因，其数目与事物相等。这就好像一个人想要清点东西，却认为数目少了数不清楚，于是把东西的数目扩大了以后再来数。”

显然，能够被肉眼看到的事物是存在的，尽管柏拉图认为不是真正的存在，但却是具体的存在，是不容置疑的存在；除此之外，按照柏拉图的观点，还有一个与这些存在相对应的供我们通过思想去“发现”的真正的存在。于是，亚里士多德首先提出了一个总体的质疑，这个世界是不是被柏拉图搞得过分繁杂了呢？接着，亚里士多德针对那些关于理念存在的证明进行了反驳：

“他们用来证明理念存在的那些方法，没有一个是令人信服的，因为按照他们的方法推论，一些原本不应当存在理念的东西，也将有理念存在。因为，根据“科学存在”这个事实，凡是某一门科学所研究的对象都应当有理念存在；根据“多上有一”这个原则，任何已经被否定的东西也都应当存在理念；根据“消灭了的东西思想依存”这个道理，任何已经消灭了的东西也都应当存在理念。更有甚者，他们有些人认为关系也是有理念的，如果把有关系的东西分为一类，于是这个类作为“第三者”也应当有理念，如此这般，永无止境。总之，那些关于理念存在的道理，毁掉了那些存在着的事物，而后者才是我们真正关心的。”

日常生活的经验告诉我们：未知的东西远远要比已知的东西多，但按照柏拉图的想法，未知的东西也应当具有理念；错误的东西远远要比正确的东西多，但错误的东西也应当具有理念；消失的东西远远要比现存的东西要多，但消失的东西也应当具有理念。如此这般，那些用肉眼看不见的存在必然要淹没，要抹杀肉眼看得见的具体的存在，而后者才是我们思维的出发点，事情是不是被柏拉图搞得本末倒置了呢？进一步，亚里士多德又从逻辑的角度反驳：

“如果理念和事物具有相同的形式，那就有某种东西为它们共有。但是，为什么理念的“二”可以在可以毁灭的，事物的“二”里面，事物的“二”又可以在永恒的，理念的“二”里面？互相包含就意味着同一，可是为什么又不相同呢？如果理念和事物没有相同的形式，那就仅仅是名称相同而已，比如，虽然卡利亚与木偶没有什么共同之处，但却把两者都称为人。”

文中所说的卡利亚是当时希腊人常用的名字。亚里士多德的反驳是有道理的：如果理念的存在与具体的存在具有相同的形式，那么它们之间的相互包含则意味着它们是相同的；如果理念的存在与具体的存在不具有相同的形式，于是理念与事物风马牛不相及，那么怎么可能通过理念来认识事物呢？最后，亚里士多德就问题的本质进行了反驳：

“更为重要的，他们所说的理念，对于可以感觉的事物，无论是永恒的还是生灭的，究竟有什么用处呢？既不能引起事物的运动，也不能引起事物的变化；既不能帮助人们认识其他事物（因为此事物的理念非他事物的理念），也无助于事物本身的存在性（因为理念并不存在于事物之中）。

......

总而言之，虽然他们的目的是要把握周边事物的原因，却忘掉了这个目的，因为他们没有谈事物变化的开始，也没有谈事物变化的原因。他们幻觉地认为自己是在寻找感性事物地实体，却断言了另一种实体的存在，他们只说出了一些不着边际的话。”

与柏拉图完全相反，亚里士多德认为一般性的概念不是客观存在的。任何一个名词，只要它适用于一类物体的所有成员，那么这个名词就是一般概念，比如圆，三角形，比如人，树木，都是一般概念，这些概念本身不是一种看得见，摸得着的客观存在，这些概念存在于我们的主观意识之中，它们是名（nomina）而不是实（res）。世界上存在的每一个人都是具体的人，而一般概念的人只存在于我们的意识之中。

如果理念，即基本概念不是客观存在，那么，人们怎么可能感觉到那些不存在的东西呢？进一步，人们怎么能获得建立在基本概念之上的知识呢？为了说明这些，亚里士多德在他的《工具论》一书中提出了共相论：

“我的意思是说，共相一词是指可以用于述说许多个主体的这样一种性质的东西，个体一词是指不能这样述说的东西。......

任何一个共相的名词要成为一个实体的名词，似乎都是一件不可能的事。因为......每个事物的实体都是它所特有的东西，并不属于任何别的事物；但是共相则是共同的，因为正是那种能属于一个以上事物的东西才被称做共相。”

所谓共相，就是一类事物所拥有的共同属性，利用这个共同属性可以把这类事物与它类事物区别，这样就可以给这类事物一个专门的名称，当人们提到这个名称的时候就可以知道这个名称的所指，可以看到，亚力士多德已经说出了概念抽象的要旨。在《形而上学》一书中，亚里士多德以数学为例进行了进一步阐述：

“个体不能同时在多处存在，共相却可以同时存在于众多，所以也不难明白，离开了特殊普遍将不复存在。......

例如，数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西诸如轻重，软硬，冷热，剩下的只有数量和关系，而各种规定都是针对数量和关系的规定。有时研究位置之间的 关系，有时研究可通约性，还研究各种比例等等。......数学家把共同原理用于个别情况，......等量减等量余量相等，这便是一条对所有量都适用的共同原理。对于数学研究而言，线，角，或者其他的量（或定义），不是作为存在而是作为关系。”

希尔伯特

上述最后一句话是相当精辟的，数学从现实生活中抽象出的那些定义不是为了说明某种东西的存在，而是为了研究这些定义了的东西之间的关系，这几乎说出了数学概念的本质。可惜的是，从几何学公里体系的发展可以看到，这句话没有引起欧几里得的足够重视，他依然给出了点，线，面的物理定义；直到两千年以后的希尔伯特才开始遵循这个原则，认为在公理体系中关系才是重要的，无论是称它们为点，线，面，还是称它们为桌子，椅子，啤酒杯，最终推理得到结论都是一样的。也是从希尔伯特开始，这个原则引导着现代数学的发展。

按照亚里士多德的想法，一般概念是人们在日常生活的经验中，通过对许多具体存在事物的共同性质抽象而得到的，所有一般概念不可能是真正的存在，一般概念表现于特殊事物，也就是说，每个具体存在都是一般概念的特例，一般存在于特殊之中。因此也可以认为，被一般概念所包含了的特殊事物是存在的存在。

虽然不应该对两千多年前的亚里士多德提出苛刻的要求，但是，我们也必须指出亚里士多德思考的不足。数学研究所涉及的基本概念并不都是直接从现实世界的具体存在中抽象出来的，比如四元数，再比如高维球面，因此，数学的基本概念并不一定都必须直接依附于现实世界中的具体的存在。这样问题就更复杂了，那些认为创造出来的，没有现实背景的概念又是如何存在的呢？

或许部分是因为这个原因，人们总是要回归到柏拉图的思考。由此可以推断，除了规范了概念的一般性之外，柏拉图的思考一定还有许多合理的成分，否则不会得到后世许多大哲学家，大数学家的推崇。让我们在后续《数学的抽象---争论的核心》再来进一步地分析这个问题。