培根 《新工具》

我们讨论数学概念是如何形成的，在本质上，这也是在讨论科学思考的原本是什么，我们讨论的重点应当是在文艺复兴之后，因为真正意义上的科学产生在文艺复兴之后。第一位必须提到的思想家是英国哲学家培根（1561-1624），为了科学的发展，培根毫不留情地批判了古希腊地那些思考原则：

“我们必须承认，我们主要是从希腊人那里得来地那些智慧，只不过是知识的童年，因为它充满辩论却无实效，这就像儿童具有的特特：能够谈论，但不能生育。”

培根是在说，古希腊人创造的方法可以用来讨论知识，却不能很好地利用知识；可以用来讨论真理，却不能用来发现真理。为了强调知识的应用，为了强调真理的发现，培根说出了他的名言：“知识就是力量”，他决定“给人类的心灵和理智介绍一种更完善的方法，从而使人们能够达到自然界那些更遥远，更隐蔽的地方”

培根在他的名著《新工具》中，对亚里士多德的批评更加毫不留情，他不仅批评亚里士多德的三段论不能用于发现新的科学，还就名实之争这个话题批评了亚里士多德：

“理性派哲学家最明显的例子就是亚里士多德，他用他的逻辑毁坏了自然科学，......因为他总是急于从词语上而不是从事物本身的内涵上，对问题给予回答并作出明确的判断。.....除了逻辑语言之外，你几乎听不到什么别的东西；在《形而上学》中，他又在一种更加庄严的名义下，似乎是以一个唯实论者而非唯名论者的 身份，重新把这种逻辑语言处理了一次。”

培根对于古希腊学者以及亚里士多德的批评是一针见血的，确实如培根所说，古希腊的学者们过分地热衷于思辨，就像亚里士多德在《形而上学》的开篇反复述说的那样，只有探求原本才可称之为智慧，而探求原本只是因为好奇，并不需要关心实际应用。正因为如此，与思维的研究相比，古希腊的学者对于科学的贡献实在有限。虽然在表面上是因为罗马人的入侵摧毁了古希腊的文明，事实上，古希腊的这种不重视经验，不重视实践的风气也不可能使其文明进一步发展下去。但是，在共相的问题上，培根在本质上还是继承了亚里士多德的观点，因为他在《新工具》中又说：

“就自然界的存在而言，除了个体按照一定规律进行纯粹的个体活动之外，别无他物。但对于哲学而言，正是由于这种规律以及对于这种规律的发现、研究和解释才形成了知识以及行动的基础，我用形式这个名词来表述这种规律及其包含。……熟悉形式的人能够在极不相同的实体中把握性质的统一性，因此能够发现从来没有发现过的东西，也能够发现从来没有想过的东西。所以，正是由于形式，我们可以在思想上得到真理并且在行动上得到自由。”

我们曾经说过，培根的文采几乎可以与莎士比亚比美，回忆亚里士多德关于共相的论述，抽象的对象主要是针对事物的性质和关系。现在，培根又加上了对于事物变化规律的抽象，并把这些统称为形式，就他所说的形式的存在而言，他的观点是与亚里士多德一脉相承的，不同的是，培根对于实践的重视远远超过对于思维的重视。因为事物的变化规律涉及复合物的性质，这要比共相复杂得多，也正冈为如此，培根强调那些可以导致发现规律的操作，因为“这种操作是从自然界的一般、进而是永恒出发的，这可以使人广开视野，这是单纯依赖人的思想所难以到达的”。这样，培根就对文艺复兴之前的过分依赖思维的认识论提出了挑战。

与培根的观点对立的、但与培根一样对近代科学的思想基础做出重大贡献的，是我们多次提到的法国哲学家笛卡尔(1596—1650)。我们曾经说过，对于认知，笛卡儿强调的是直观和演绎，他认为自己颠覆了亚里士多德的学说。为了分析笛卡尔的认识论，最直接的方法就是分析他的名言：“我思故我在(I think，therefore I am)。”他在《谈谈方法》中述说：

“我发现“我思故我在”这个真理那样的确切，怀疑派们的那些绞尽脑汁的质疑都无法动摇，困此我决定毫不犹豫地采用，并把它作为我探寻哲学的第一原理。

......

我认识到我是一个实体，这个实体的所有本质和天性就是思想，其存在不需要任何空间，也不依赖任何有形的东西，因此，这个“我”就是我之所以成为我的那个心灵，是与身体完全不同的，甚至比身体更容易认识；即使身体不存在了，心灵依旧。”

可以看到，笛卡尔强调的是“我”的思想，或者说，具有思想的“我”，正是基于这一点，他激励人们对现存的东西表示怀疑，对未知的东西进行探索；也是基于这一点，他推崇直观，鼓励创新。与培根一样，笛卡尔的思想无疑对促进科学的发展起到了积极的作用。笛卡尔也是实践者，他把创立的解析几何作为那本书的附录。从笛卡尔开始，西方哲学开始了

“一场关于认识论的伟大游戏”。

或许是因为笛卡尔的论证方法和写作形式都与亚里士多德类似，许多学者认为笛卡尔是步亚里士多德之后尘，事实上，笛卡尔比柏拉图走得更远，柏拉图认为理念是真正的存在，现实只是理念的幻影；而笛卡尔则干脆把思考的我作为真正的存在，并且，这个思考的我不仅与现实脱离，甚至与思考的我所依附的身体脱离。现实之所以可以被认识，是因为我的存在，是因为我的思想的存在，他有时也称这种思想的载体为心灵．在《形而上学的沉思》中，他突出了心灵的作用：

“我已经明了，在真正的意义上，即便是形体的认识也不是因为感官或想象力，而是因为理智；它之所以被认识不是因为被看见或者被摸到，而是因为被思想所理解或了解，这样就很明显，对于我来说，没有一件东西比我的心灵更容易认识了。”

笛卡尔接着解释说，比如，关于角形的概念，就是通过感官进入心灵的；关于三角形的那些特性也都是真的，因为我明白地认知它们，即便没有给出证明，但我心灵的本性告知它们是真的。可是，为什么心灵本性告知的就是真的呢？笛卡尔解释不清楚，他意识到自己的有限和不完满，于是就依附于神，他回答道：“其所以可靠，是因为有上帝的存在。上帝是

一个完满的实体，而我们的一切都是从上帝那里得来的。”于是与后来的牛顿一样，笛卡尔把原因、把第一动力奉献给了上帝，

英国哲学家洛克(1632—1704)不同意笛卡儿的观点，洛克与培根一样重视的是经验，甚

至建立了一个关于经验的学说，因此洛克被认为是认识论中经验主义的奠基人。关于人的认知，洛克提出了有名的白板论，在《人类理智论》一书中他说：

“假定心灵像我们说的那样是一个白板，上面没有任何记号，没有任何观念，那么，心灵是怎样得到那些观念的呢？……我用一句话来答复这个问题：是从经验得来。我们的全部知识建立在经验之上，知识归根到底都是源于经验的，对于外界可感知事物的观察，或者，对于诸如感知、反省等心灵内部活动的观察，构成了我们可以进行理性思维的全部素材。这两者是知识的源泉，从中涌现出我们已经获得的或必将获得的全部观念。”

人的心灵是人认知世界的场所，这个场所原本是一个白板，是经验通过感官在这个白板上留下了印记，这就是人对世界的认知。洛克的这个比喻是形象的，这个比喻在本质上是亚里士多德的，只是更加强调了操作性，因而更加强调了机械性，这或许受到了英同哲学家霍布斯(1588—1679)的影响。霍布斯认为一切知识来自感觉，而感觉是一种影像，是外部世界的物体及其运动对于感觉器官作用的结果。

为了说明心灵是如何通过经验得到知识的，洛克把知识分为两类：直觉知识和理性知识。直觉知识是一类最清晰最可靠的知识，直觉知识的获得不需要心灵的辛苦劳作，只需要心灵对那些物体一看便知，比如，对于圆与三角形的区别；而理性知识的获得就需要心灵的辛苦劳作了，需要在心灵中插入其他的一些诸如推理、计算之类的观念（具体用什么观念将根据

需要而确定），比如，三角形三个内角之和与180度之间的关系就不是凭借直觉就可以知道的。但是，对于那些插入的观念的判断也依赖直觉，所以，我们全部知识的可靠性完全依赖于直觉。

莱布尼茨 《人类理智新论》

洛克强调了经验的重要性，强调了一种操作的和机械的直觉，这比亚里士多德论述得更加具体，但也因为如此，洛克更加忽视了人的主动性，忽视了人的活力。千古智者、德国哲学家莱布尼茨(1646～1716)也参与到这个争论之中.莱布尼茨是一个充满活力的人，他与牛顿同时发明了微积分。莱布尼茨完全不同意洛克的观点，为了表示对立，他著书名为《人类理智新论》，在书的序言中就直截了当地谈道：

“对于一些相当重要的问题我们之间是有差别的。问题就是：心灵本身是否像亚里士多德和《人类理智论》的作者所说的那样，完完全全是空白的，好像一块还没有写上任何字迹的白板，心灵上留下的任何痕迹都是通过感觉和经验得来的；或者，心灵原来就包含了一些概念和学说的原则，外界的对象只是靠机缘把这些原则唤醒了。我和柏拉图一样持后一种主张。”

接着上面的那一段文字，莱布尼茨在书中进一步阐述了他的思想，虽然感觉对于认识是重要的，但不足以提供全部认识，因为感觉提供的都是具体的例子，不管感觉把例子提供得多么丰富，也不足以保证真理的普遍性和必然性，莱布尼茨说的是对的，但是他说的这些话恰恰是亚里士多德曾经说过的，正是因为这个原因，亚里士多德才规范了论证的程序，提出

了演绎推理的方法。

不同的是，莱布尼茨深刻地思考了“学说原则”是如何存在的问题，以数学为例，在纯数学中有许多命题的证明是不需要举例的，进而不需要依靠感觉的见证，因此，它们的证明只能依靠天赋的内在原则，莱布尼茨又把人与动物进行比较，动物对事物的判断单纯依赖经验，靠例子来指导自己的作为，而人之所以能够捕获动物，就是利用了动物的这一点，单纯的经验主义者提倡的对事物的判断方法就是一种与动物类似的方法。事实上，最明智的人就不会单纯地依赖经验，而要去探求事件发生的原因，发现可靠的规律，这样就可以判断可能会出现的例外，这样，他就进一步说明了人对事件的判断依靠天赋的内部原则。于是，莱布尼茨理直气壮地反问：

“既然如此，还能否认我们的心灵中有许多天赋的东西吗？……还能否认在我们的心中有存在、统一、实体、绵延、变化、知觉、快乐以及其他许许多多我们理智观念的对象吗？……

为什么一切都必须是对外部世界的观察得来，而不能从我们自身中发掘呢？难道我们的心灵就这样空虚，除了外来的影像就一无所有？”

莱布尼茨批评白板理论是虚构的，是荒谬的，就像没有运动的物体，没有灵魂的思想那样，莱布尼茨支持了笛卡尔，也发展了笛卡尔，他认为心灵与身体之间是沟通的，为了说明这一点，他创造了“前定和谐”学说。最后，与那个时代的所有哲学家一样，莱布尼茨用他的学说论证了上帝的存在，特别是，他还证明了“这个世界是所有可能世界中最好的世界”。可以看到，因科学发展的限制，有许多问题莱布尼茨不可能阐述得非常清晰，但他的思想r中有许多合理的内核，特别是，他强凋了人的主观能动性。或许是因为这个原因，马克思在1870年5月10日致恩格斯的信中说：“你知道，我是佩服莱布尼茨的．”

休漠 《人类理智研究》

为了坚持经验主义，英国哲学家休漠T (1711～1776)创立了因果关系的学说，他利用这个学说论证了一切结果的发现不能通过理性而只能通过经验。罗素在《西方哲学史》中评价他“把洛克和贝克莱的经验主义哲学发展到了逻辑终点”。休谟最重要的著作是《人性论》，可是这本书并没有得到人们的关注，但这本书的简缩本《人类理智研究》却有较大的影响．据说，正是这个简缩本把康德从“独断的睡梦”中唤醒。

突出经验的作用的最简洁办法就是贬低精神的作用，于是在《人类理智研究》的开篇不久，休谟就限制了精神作用的可能性：

“我们的思想似乎具有无边无际的自由，可是切实考察就会发现，它实际上被限制在一个狭隘的范围之内，人的心灵所具有的创造力，只是将感官和经验提供的素材加以混合、置换、扩大或缩小而已。”

休谟认为，人类的理智并不能创造出什么新的东西，其功能只是对那些感觉到的现实世界的各种现象进行叠加。对人类理智如此贬低，在所有的哲学家中休谟可能是第一人，或许也正是这个原因激发了康德的全力批判。但是，人类理智所具有的推理能力是不容置疑的，休谟用自问自答的方式对推理的本质进行了概括性的阐述：

“原因与结果的发现，是不能通过理性的，只能通过经验。……如果有人问：我们对于事实所作的一切推论的本性是什么？合适的回答似乎是：这些推论是建立在因果关系的基础上。如果再问：因果关系的推论和结论的基础是什么？可以用一句话来回答：经验，如果继续刨根问底：由经验可以得到一切结论的基础是什么？

关于最后一个问题，休漠也问答不出来，在述说了许多理由之后他说：“你想从过去的经验得知事物的本性，那是徒劳的。因为即便是感性性质不发生变化，它们的秘密本性仍然会发生变化，于是它们的结果和作用也发生变化。”休谟断然认为这个问题过于复杂，不仅他回答不了，其他人也回答不了，他说：“你能通过逻辑或者论证进行反驳吗？我把这个问题提给大家，但是并不期待可能得到解决问题的答案，我之所以这样做，虽然不能增进知识，但至少可以知道自己的无知。”

事实上，休谟的逻辑顺序是简单的：人的认知和推理的基础是经验，并且直接来源于经验；因为经验把握不了时刻发生变化的事物的本质，因此人是无知的。这样，休谟就把经验主义置于逻辑上不可逆转的境地，终于陷入了不可知论。

康德 《纯粹理性批判》

德国哲学家康德(1724～1804)对休谟如此藐视人的理性表示愤慨，于是写出巨著《纯粹理性批判》，虽然这本巨著书名为批判，但实质是对于纯粹理性的评析，甚至是在论证纯粹理性的可能性，因为康德在这本巨著的《序言》中说：

“主要问题仍然是：知性和理性脱离一切经验能够认识什么，认识多少？”

这就要回到最原始的话题，人到底是如何获取知识的。在《公理体系的数学发展》中，我们曾谈到希尔伯特非常尊敬他的这位同胞，他在《几何基础》第一版的扉页引用了康德的一段话：

“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。”

在这里，康德强调了人的精神的力量，人的精神基于一个积极主动的器官，不仅能够将变化的感觉归纳为确定的概念，也能将杂乱的经验整理为清晰的理念。为了说明这些，康德首先定义了两类直观，一类是经验直观，一类是纯粹直观。经验直观可以理解，什么是“纯粹直观”呢？他解释道：

“我把一切在其中找不到任何属于感觉的东西的表象称之为纯粹的（在先验的理解中）。因此，一般感性直观的纯粹形式将会先天地在内心中被找到，在这种纯粹形式中，现象的一切林林总总通过某种关系而得到直观。感性的这种纯粹形式本身也叫做纯粹直观。”

就每一个个体而言，我们对许多东西都找小列感觉，可是就一般的人类而言，找不到感觉的那些东西是什么呢？康德认为是空间和时间。康德对于空间和时间找不到任何感觉，并且武断地认为所有的人对空间和时间都找不到感觉，于是他认为，人们能够建立空间和时间的概念是因为纯粹直观而不是经验直观，他很认真地阐述了理由：

“空间不是什么从外部经验中抽引出来的经验的概念。……空间是一个作为一切外部直观之基础的必然的先天表象，……空间决不是关于一般事物的关系的推论的概念，或如人们所说，普遍的概念，而是一个纯粹直观。”

这样，空间和时间就不是人们感觉到的东西，而是人们用来整理感觉的工具，如果感觉到了现实世界的事物，那么，通过空间就可以分辨这个事物与其他事物的位置关系，这就可以分辨事物的性质差异；通过时间就可以分辨这个事物与其他事物的先后关系，这就可以分辨事物的顺序差异，于是，康德就证明了，虽然知识的来源不可能超越经验，但并不都是依

赖感觉、单纯用归纳整理的方法堆积出来的，其中有一部分是由人的内心中先天就存在的东西、即纯粹直观推断得到的，这类似莱布尼茨的说法，心灵并不是一个白板，心灵原来就包含了一些概念和学说的原则，外界的对象只是靠机缘把这些原则唤醒了。当然，康德论述的比莱布尼茨更有条理，也更加深刻。

空间和时间是数学研究的基础，如果这个基础是先验的，那么数学的规律也是先验的，是不依赖于经验的“先天的综合判断”，因此是绝对的、必然的永恒，这样，在对于数学的认识上，康德又回到了柏拉图的论点。

或许是因为柏拉图的思想更富有活力，给人以自信，许多数学家都愿意接受柏拉图的观点，并且不断地给予新的解释，使这个观点更加适应科学的发现和时代的发展。克莱因在《数学：确定性的丧失》一书中从研究基础和论证模式出发，把现代数学分为四个学派，即逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化。事实上，集合论公理化可以归于逻辑主义，虽然在现代数学中，集合论作为一种数学语言其作用越来越重要，但就本质而言，集合公理化只能是逻辑表达的一个方面。下面，我们来简单地分析其余三派的认知基础。

形式主义的代表人物是希尔伯特，我们已经说过，希尔伯特的认知哲学深受康德的影响，因而是支持柏拉图的。回顾我们在《公理体系的数学发展》中的讨论，形式主义的概念基础是我们所说的第二次抽象，他们没有也不想回头看、进而回归到经验的层面，从这一点分析，他们比柏拉图走得更远，他们认为“对待数学最可靠的方法不是把它当做实际知识而是当做一种形式上的法则”。

逻辑主义的概念基础也是我们所说的第二次抽象。逻辑主义的代表人物是罗素，罗素更重要的是一位哲学家，他对柏拉图推崇备至，罗素在《西方哲学史》中说：

“我应当同意柏拉图的说法，纯粹数学并不是从知觉得来的。纯粹数学包含的都是类似“人是人”这样的同义反复，只不过是更为复杂罢了。要知道，判断一个数学命题是否正确，我们并不需要研究世界，而只需要研究符号的意义；而符号，当我们省略了定义之后，只不过是“或者”、“不是”、“一切”和“某些”之类的话语，并不指向现实世界中的任何事物。”

在罗素的眼中，数学就是通过一些表示关系的逻辑术语把表示概念的名词连接在一起，构成话语或者命题。显然，如果我们不顾及概念的实际含义，那么就如罗素对数学评述的那样：“数学的真理，正如柏拉图所说，与知觉无关，这是一种非常奇特的真理，仅仅涉及符号。”我们可以看到，在认知哲学的层次上，逻辑主义和形式主义是一致的。

整体说来，直觉主义的理论体系是零乱的，但对于数学的研究手法却是明确的，对于数学命题正确与否的判断，进而是对数学论证方法合理与否的判断，他们宁可相信人的直觉，也不相信形式主义的那些形式和逻辑主义的那些逻辑。比如他们认为，关于无穷集合这样的概念，关于实数连续性这样的性质，关于排中律使用范围这样的规则，人的直觉判断比形式化的逻辑推理更为有效。有一批大名鼎鼎的数学家支持这个观点，比如克罗内克(1823 -1891)、鲍莱尔(1871- 1956)、勒贝格(1875—1941)，以及我们在《图形的变换》中提到过的庞加莱。可是，人通过直觉得到的数学是如何存在的呢？他们认为，数学是人的头脑的产物，它仅

仅存在于人的头脑之中，是独立于现实世界的。于是，正如克莱因认为的那样，直觉主义可以追溯到笛卡尔和康德，这样又是支持柏拉图的，或许数学是特殊的，也就是说，或许就认识论而言数学的概念和原理的形成有其特殊性，因为，被罗素称为“把认识论经验主义发展到了逻辑终点”的休谟在论述到数学时也是笔下留情，给予特殊处理，他在《人类理智研究》中说：

“人类理性的全部对象可以自然地分为两类：观念关系和事实关系，属于第一类的有几何、代数、三角诸学科。简而言之，任何一个命题，只要由直觉可以发现其确切性，或者，由证明发现其确切性，都可以属于第一类。”

看来，对于经验的作用，在休谟那里也是有商量余地的，因为他所说的第一类对象是特殊的，是不依赖经验的。他认为，毕达哥拉斯定理的判断就只凭借思想的作用，许多几何概念纵然在自然界中没有原型，欧几里得的结论依然是真理。可以看到，这些说法即使不是柏拉图的，离柏拉图的也不远了。

即便如此，我在本质上依然赞同亚里士多德。在现实世界中，数学的基本概念，即那些抽象了的东西是不存在的，抽象了的概念只是表现在每一个具体之中。说得更确切，如果一个东西在现实世界中是存在的，那就不是抽象的。不管柏拉图多么希望建立永恒的知识，但是我们必须清楚，知识所依赖的抽象了的概念是人给出的，并且是被某一个群体的人所认可的，我们在《数量与数量关系的抽象》中曾经提到过这样的问题，如果让人们重新开始对数学的研究，会有多少与现在的数学是一样的？任何一位了解数学的人都会知道，一定不会

是完全一样的，不仅是数学学科，其他学科大概也是如此。在这里，我们甚至可以更加刻薄地提出问题，如果没有柏拉图和亚里士多德，那么，这场关于柏拉图与亚里士多德引发的“名实之争”的事情的本身是必然的吗？在这场争论中所涉及的那些概念是“真正的”存在吗？

正是因为抽象了的东西是人抽象出来的，这个抽象就必然与某一个具体的人或者某一群具体的人有关，那么，这种抽象了的东西怎么可能是真正的存在呢？抽象必须依赖于具体的人、必须依赖于具体人的抽象能力，关于这一点，不仅柏拉图没有注意，就是亚里士多德也没有注意。我这里所说的正是东方文化和西方文化的差异，东方文化关注一类事物以及这类

事物与它类事物的差异，西方文化关注一般事物以及一般事物与具体事物的差异。这个话题显然是有意义的，可惜的是，这个话题已经超出了我们讨论的范围。

我们能够感悟到乒乓球、足球是圆的，甚至知道行星运动的轨迹基本是圆的，但是圆这个概念本身却是人为给出的，是从现实世界中许多具有圆形的物体，或者具有圆形轨迹的运动中抽象出来的，基于它们的共性就得到了概念：到一个定点的距离相等。在这个概念的基础上，我们可以定义一些点的集合，或者定义一个动点的运动方程；进一步，在这个概念的

基础上，我们可以讨论与之有联系的各种关系，比如周长与半径、面积与半径等等。很显然，没有这些概念就没有数学，因此，没有抽象也就没有数学。可是，这些概念本身却不存在于现实世界，它通过现实世界中的每一个具体的存在而表现其存在。

就像我们在前面指出的，数学研究所涉及的基本概念并不一定都是直接从现实的具体的存在中抽象出来的，也可以借助符号与类比得到更高层次的抽象，比如四元数以及由它派生出来的一些研究领域的基本概念，就是借助复数的表达及其运算法则，通过进一步抽象得到的；再比如高维球面以及有关的研究领域的基本概念，就是借助二维球面的定义规则和基本性质，通过类比得到的，因此，数学的基本概念并不一定都必须直接依附于现实世界中的具体的存在。为此，我们可以补充亚里士多德的论述，抽象了的东西是不存在的，而仅表现于每一个具体之中，这个具体既包括感性具体也包括理性具体，也就是说，我们允许更高层次的抽象。

可是，为什么会有那么多的数学家不赞同亚里士多德的观点呢？除了上述原因之外，一定还有更深层次的原因，我们将在下—个话题《数学的抽象》中认真地分析这个原因，并且尝试用现代的知识和语言来分析人类认知的实质，以及对数学教育的启迪。