【来源】邹生书数学(许兴华数学/选编)

　　多角度解析一道二元条件无理式的值域

　　（湖北省阳新县高级中学 邹生书）

　　这是一道二元条件无理式的值域问题[1]，条件等式与所求式子结构简洁轮换对称。本题短小精炼内涵丰富，解法灵活多样，多角度解析这道题目可达到以点带面以少胜多，做一题通一类复习一大片的良好效果。下面给出该题的多角度思路分析与解答，希望对读者有所帮助。

　　思路一 轮换对称，猜想赋值求最值

　　解析1 这是一道二元条件无理式的值域填空题，注意到条件等式与所求式子轮换对称，根据经验猜想最值在变量相等或极端状态下取得。

　　评析：用柯西不等式、均值不等式、琴生不等式求解，只能求出最大值无法求出最小值。不等式法虽然有其独特的一面但有其很大的局限性，最多只能求出最大值和最小值中的一个。求多元函数值域或取值范围问题的常用方法是函数法，通过构造函数同时也可结合不等式、几何图形来解决。

　　思路二 平方后将两个无理式变成一个无理式求解

　　解题有三个境界：就题论题，以题论法，以题论道。解法与境界因题而异因人而异，一题多解，一题多变，多题一法，沟通题与之间的联系，区分法与法之间的异同，构建知识网络，深化对问题的认识，提高分析问题和解决问题的能力，提升数学综合素质和核心素养。

　　参考文献：

　　[1]邹生书。一道无理函数值域赛题的多种解法[J]，河北理科教学研究，2018（1）

　　[2]邹生书。一类轮换对称式取值范围的求法[J]，河北理科教学研究，2009（6）

　　注：文章发表于《中学数学杂志》2018年第9期

　　【注】公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。

　　邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。