神機妙算 ！—— 類斐波那契數列簡介

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請看下面的一串數：

我們來求從上面第一個數開始連續任意多個數的和，比如下面數串中橫線以上數字的和：

我們其實不用一個個地把它們加起來，因爲若橫線上面數很多，加起來也很容易出錯。而我有簡單的方法一下子就可以說出結果：

518。

爲什麼？我是怎麼神機妙算的？很簡單，我用橫線下面的第二個數，這裏是521，減去最上面第二個數，這裏是3，得到518。爲什麼這樣算是正確的呢?

這裏涉及“類斐波那契數列”的概念，所謂類斐波那契數列是這樣的，任給兩個數，然後從第三個數起，它是其前面兩個數的和。也就是說，把斐波那契數列的頭兩個數F1=F2=1換成任意兩個數，而遞推關係式Fn=Fn-1+Fn-2不變。

上面的式子就是這樣得來的，頭兩個數是1和3。我們要求的前11個數的和，可以寫成：

F1+F2+F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10+F11

橫線劃在F11的下面，於是，橫線下面的第二個數就是F13，所以，我們就要證明：

F1+F2+F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10+F11=F13-F2

把右端（－F2 ）移到左邊（變符號），所以，我們就是要證明：

F2+F1+F2+F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10+F11=F13

由於

F1＋F2 = F3，

F2＋F3 = F4，

F3＋F4 = F5，

F4＋F5 = F6，

F5＋F6 = F7，

F6＋F7 = F8，

F7＋F8 = F9，

F8＋F9 = F10，

F9＋F10 = F11，

F10＋F11 = F12，

F11＋F12 = F13，

所以有：

左邊

=F2+F1+F2+F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10+F11

= F2+F3+F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10+F11

= F4+F5+F5+F6+F7+F8+F9+F10+F11

= F6+F7+F7+F8+F9+F10+F11

= F8+F9+F9+F10+F11

= F10+F11+F11

= F12+F11

= F13

=右邊

這就解釋了我上面的神機妙算是怎麼做到的。

一般化後，對任意的n，可以得到：

如果是斐波那契數列，則F2=1，所以，

這是斐波那契數列的一條性質，即斐波那契數列前n項和加1等於第n+2項。

本期用了一個有趣的計算問題，引出了斐波那契數列的性質。以後我還會陸續介紹斐波那契數列的其他一些性質，也力爭做到從有趣的實例引入。當然，有趣歸有趣，數學味道卻一點不能少！