各位朋友，大家好！今天是2020年6月13日星期六，祝大家周末愉快！今天，数学世界将发布一道初中九年级数学中有关正方形的几何综合题及解析，如果你是刚刚关注我们的新朋友，可以翻看数学世界以前发布的文章。笔者希望能够对广大学生的学习和备考有一些帮助，请朋友们密切关注！

下面，数学世界将为大家分析和讲解这道几何题，此题涉及到的知识点也是比较多的，有相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理等。这道题有相当的难度，思路跨度比较大，可能属于多数学生无法做出来的题目。

大家在做此题时，要结合已知条件，仔细观察图形，充分运用正方形的性质和相似三角形的判定与性质，并能够作出合适的辅助线。请大家先独立思考一会儿，再看下面的分析和解答过程，相信一定会有收获！

例题：（初中九年级数学几何题）如图，已知正方形ABCD的边长为12，F为BC上的一点，且BF=3，小正方形EFGH的顶点E，G分别在AB，FD上，求AH的长是多少？

这道题目的文字比较少，但是包含的信息量还是很大的，必须要将这些隐含条件理顺。当无法直接得到结论时，应该考虑作出适当的辅助线，以帮助解决问题。此题要求线段的长，但是该线段并不在直角三角形中，就必须构造直角三角形，再结合三角形全等进行推理计算。下面，数学世界就与大家一起来解决这道例题吧！

分析：由条件可知，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，根据同角的余角相等，可得∠BEF=∠CFD，可以证得△BEF∽△CFD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BE长。

再构造以AH为一条边的直角三角形，过H作HM⊥AB于M，则∠HMA=∠HME=90°，通过证全等三角形求出MH和AM长，再根据勾股定理求出结果，于是问题得到解决。

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∵四边形EHGF是正方形，

∴∠BFE+∠CFD=90°，（结合图形，根据角的加减）

又∠CFD+∠CDF=90°，（根据三角形内角和）

∴∠BFE=∠CDF，（同角的余角相等）

∴△BEF∽△CFD，（相似三角形的判定：两角对应相等）

∴BF/CD=BE/CF，（相似三角形的性质）

∵BF=3，BC=12，

∴CF=BC-BF=12-3=9，

∴BE=9/4，

过H作HM⊥AB于M，则∠HMA=∠HME=90°，（构造直角三角形）

∵四边形ABCD和四边形EHGF是正方形，

∴∠HME=∠B=90°，EH=EF，∠HEF=90°，

∴∠MEH+∠BEF=90°，

∠BEF+∠EFB=90°，

∴∠MEH=∠EFB，

在△HME和△EBF中,（证全等三角形）

∠MEH＝∠EFB，

∠HME＝∠B，

EH＝EF，

∴△HME≌△EBF（AAS），

∴HM=BE=9/4，ME=BF=3，（求直角三角形AMH的两边）

∴AM=AB-EM-BE

=12-3-9/4=27/4，

在Rt△AMH中，由勾股定理得

AH=9√10 /4.

（完毕）

这道题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质等知识点，此题综合性较强，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家在下面留言讨论。谢谢！

这是正方形的综合题，看着简单但难以做出，将线段进行转化是难点

这道初三数学几何题难倒大多数人，构造平行四边形是难点和突破口

这道初三数学几何综合题，很多人可能不会做，要多次运用勾股定理

这道初三几何题难倒不少人，解题关键是证明相似和构造直角三角形

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