數學家解決了一個關於柏拉圖12面體的“世紀”問題

儘管數學家們花了兩千多年的時間來解剖五個正立方體（四面體、立方體、八面體、二十面體和十二面體）的結構，但我們對它們仍有很多不瞭解。

現在，三位數學家解決了關於十二面體的一個最基本的問題。

在三維空間中，柏拉圖立體是一個規則的凸多面體。它由全等(形狀和大小相同)、正(所有角相等、所有邊相等)、具有相同數量面的多邊形面在每個頂點相交構成。——維基百科

5種柏拉圖立體假設你站在一個柏拉圖式立體的一個角。有沒有一條直線可以讓你最終回到起點而不經過任何其他角？對於由正方形或等邊三角形構成的四個正立方體（正方體、四面體、八面體和二十面體）數學家們最近得出的答案是否定的。任何從一個頂點開始的直線之路，要麼會撞上另一個角，要麼永遠繞着它轉不回來。但是對於由12個五邊形組成的十二面體，數學家們並不知道會發生什麼。

現在，阿塞利亞，奧利奇諾和霍伯三位數學家已經證明在十二面體上確實存在無數條這樣的路徑。他們的論文發表在5月份的《實驗數學》雜誌上。

這個解決方案需要現代技術和計算機算法。“20年前，這個問題絕對是遙不可及的；10年前，需要付出巨大的努力來編寫所有必要的軟件，所以直到現在，所有的因素都彙集到了一起，”巴黎塞烏數學研究所的安東·佐裏希在一封電子郵件中寫道。

這個項目始於2016年，當時華盛頓大學的阿塞利亞和布魯克林學院的奧利奇諾開始卡片摺疊成柏拉圖立體圖形。當他們建造不同的立體時，奧利奇諾突然想到，最近的一項關於平面幾何的研究可能正是他們理解十二面體上的直線路徑所需要的。“我們實際上是在把這些東西放在一起，”阿塞利亞說。

研究人員與紐約城市學院的霍伯一道，研究出瞭如何對從一個角到另一個角的直線路徑進行分類的方法。

他們的分析是“一個完美的解決方案，”芝加哥大學的霍華德·馬蘇爾說。“在這種情況下，我可以毫不猶豫地說，‘我要是那樣做就好了！’”

隱藏的對稱性

儘管數學家們推測十二面體上的直線路徑已經有一個多世紀了，但隨着對“平移面”的理解取得進展，近年來對這一主題的興趣重新燃起。“這些是通過將一個多邊形的平行邊粘合在一起形成的表面，它們已經被證明對研究廣泛的課題很有用，包括有角的形狀的直線路徑，從檯球桌的軌跡到一盞燈何時能照亮整個鏡像房間的問題。”

在所有這些問題中，基本的想法是展開柏拉圖立體，使研究的路徑更簡單。因此，要理解柏拉圖式實體上的直線，可以先讓實體平放，形成數學家所說的網。例如，立方體的網是由6個正方形組成的T形。

阿塞利亞和奧利奇諾在2018年寫的一篇論文《十二面體》，展示了在避開其他角的情況下，從一個頂點回到自身的直線路徑實際上是可能的。假設我們把十二面體弄平了，現在我們沿着這個平面沿着某個選定的方向走。最終我們將到達網絡的邊緣，在這一點上我們的路徑將跳轉到一個不同的五邊形（在我們切開十二面體之前，任何一個已經粘在當前五邊形上的）。每當路徑跳躍時，它也會旋轉36度的倍數。

爲了避免所有的跳躍和旋轉，當我們擊中網的邊緣時，我們可以粘在新的旋轉的網副本上，然後繼續直接進入網中。我們添加了一些冗餘：現在，我們有兩個不同的五邊形代表原始十二面體上的每個五邊形。因此，我們使世界變得更加複雜，但是我們的道路變得更加簡單。每當我們需要擴展到世界邊緣之外時，我們都可以繼續添加新的網絡。

當路徑經過10個網的時候，我們已經把原來的網旋轉了36度的倍數，我們加入的下一個網將會和開始時的方向相同。這意味着第11個網絡通過一個簡單的移動與最初的網絡相關聯（數學家稱之爲平移）。不用粘第11張網，我們可以簡單地把第10張網的邊粘到原來網的平行邊上。我們的形狀將不再平放在桌子上，但數學家認爲它仍然“記住”了之前的平面幾何——因此，舉例來說，如果路徑在未粘合狀態下是直的，那麼它們就被認爲是直的。在我們完成了所有這些可能的平行邊的粘合之後，我們就得到了所謂的平移面。

由此產生的表面是一個高度冗餘的十二面體，每個五邊形有10個副本。而且它要複雜得多：它會粘合成一個有81個洞的甜甜圈的形狀。然而，這種複雜的形狀讓三位研究者得以接觸到豐富的平移面理論。

爲了研究這個巨大的表面，數學家們捲起了他們的袖子。在對這個問題進行了幾個月的研究後，他們意識到81個洞的甜甜圈表面不僅是十二面體的冗餘表示，而且是研究最多的平動面之一。它被稱爲雙五邊形，是將兩個五邊形沿着一條邊連接起來，然後將平行的兩邊粘合在一起，創造出一個具有豐富對稱集合的雙孔甜甜圈。

這個形狀也恰巧被紋在了阿塞莉亞的手臂上。