2020年天津中考數學第18題改編題2（預備題），正方形網格中的平行線

預備知識

正方形網格中所有的網格線不是互相垂直，就是互相平行．

如圖，若直線AB被橫向的網格線所截，根據“平行線分線段成比例”（基本事實），因爲每個小正方形的邊長都相等，所以AC＝CD＝DE＝EF＝FB．

很多網格就是沒有座標軸的座標系，它的重要性不言而喻．在很多省市的中考卷中都會看到它的身影．

下面我們探究網格線以外的平行線．

例1

如圖，在每個小正方形的邊長爲1的網格中，點G，H，A，C，都是格點，求證：GH∥AC．

思路1

如答圖1，取格點M，N，連接AM，CM，GN，HN．

證明△ACM≌△GHN，或證明∠C與∠H的正切值相等，

都可以得到∠C＝∠H．

又∵∠C＝∠1，∴∠1＝∠H．

∴AC∥GH．

思路2

如答圖2，連接AG，CH，

由於點A與點C的移動方向相同，且移動的距離相等，所以GH由AC平移所得，即AC∥GH(且AC＝GH)．

評析

思路2的關鍵在於理解平移的本質．

請抓住一個圖形“平移”的兩個要點:

①每個點移動的方向都要相同;

②每個點移動的距離都要相等．

利用網格，這裏可以理解爲點A，C的運動方向都是“東北”，而且點A，C的移動距離都等於小正方形對角線的長；也可以把運動“分解爲”先向右移動一格，再向上移動一格，這樣移動的距離當然相等．

思路3

如答圖3，取格點P，Q，連接PQ．

由網格得PA∥QC，且PA＝QC，所以四邊形PACQ是平行四邊形，所以AC∥PQ．

同理可證PQ∥GH．

依“三線平行”得到AC∥GH．

評析

以上思路本人更傾向於思路2．一般地，我們在正方形網格，或平面直角座標系中作平移變換時，都是用這種思路．

思路3是繁了一點，但是最好理解．

例2

如圖，在每個小正方形的邊長爲1的網格中，點G，H，A，C，E，F都是格點，直線BF被GH，AC，EF所截得的線段KD，DB是否相等？爲什麼？

提示

利用例1的結論，我們可以證明GH，AC，EF是一組平行線．

如答圖4，連接GE，由網格的特性，得GE必過點A，且GA＝AE．

依平行線分線段成比例，

則KD＝DB．

例3

如圖，在每個小正方形的邊長爲1的網格中，點F，A，C都是格點，點B在網格線上，

思路提示

思路1

如答圖5，注意到點B在點A的下方，延長BF，交網格線於點D（點D在點C的下方）．取格點E，G，連接BE，EF，FG，GD．

在△FBE與△FDG中，

∵∠FEB＝∠FGD(＝90)，

∠BFE＝∠DFG，

∴△FBE∽△FDG．

∴DG∶BE＝FG∶FE＝1∶2，

∴四邊形ABDC是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)．

∴BF∥AC．

評析

證明平行的思路總體上與例1中的思路3是一致的．

思路2

用同一法．

如答圖6，取格點E，連接EF，交網格線AB於點B′．

∵B′E∥EM，

∴△FB′E∽△FEM．

∴B′E∶EM＝FE∶FM．

思路3

利用三角形相似．

如答圖7，取格點S，T．

∴∠CAS＝∠FBT．

∴BF∥AC．

還有更好的思路嗎？

評析

這道題的難點在於雖然給出了AB的長度，但是點B不是格點，所以無論如何都要求助於其他格點．