這道以網格爲背景的中考填空題牽涉到的知識點很多，綜合性強，難度相當大，值得探究，不信你試試看!

2020年天津中考數學第18題（原題）

如圖，在每個小正方形的邊長爲1的網格中，△ABC的頂點A，C均落在格點上，點B在網格線上，

（Ⅰ）線段AC的長等於___________;

（Ⅱ）以BC爲直徑的半圓與邊AC相交於點D，若P，Q分別爲邊AC，BC上的動點，當BP＋PQ取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點P，Q，並簡要說明點P，Q是如何找到的（不要求證明）______________．

提示

（Ⅰ）這一問送分，依勾股定理，得線段AC的長等於根號13．

（Ⅱ）分兩步走．第一步先確定點P，Q理論位置，第二步再考慮如何畫圖．

當動點P，Q分別位於什麼位置時，BP＋PQ取得最小值呢？

如分析圖1（注意這一步與網格無關），

根據軸對稱的應用，垂線段最短以及兩點之間線段最短，我們知道：若作點B關於AC的對稱點B′，再過點B′作BC的垂線，與AC交於點P，與BC交於點Q，連接BP，則這時BP＋PQ取得最小值．

（點擊下面鏈接，瞭解取得最小值的道理．）

2020年天津中考數學第18題改編題1

評析

一定要弄明白，爲什麼要作點B關於AC的對稱點呢？

因爲與最小值相關的點只有3個，其中點B是定點，而點P，Q都是動點，又是我們所要求的，所以應該作定點B關於AC的對應點B′．

下面探究如何畫圖．

因爲只能用沒有刻度的直尺，可以發現：網格一定要用上，半圓肯定也要用上．

最難想到的是：既然只能用沒有刻度的直尺，題目爲什麼要給出AB的長度？是否可以在AB的長度上做文章呢？

下面先把答案（畫法）告訴你，或者你自己能夠明白其中的道理．

如答圖1，

①取格點G，H，連接GH．

②連接BD並延長，交GH於點B′．

③連接B′C，交半圓於點K．

④連接BK，與AC交於點P．

⑤連接B′P並延長，交BC於點Q．

則這時BP＋PQ的值最小．

如果你不明白爲什麼這樣畫，那就請你耐心繼續看下面的證明吧！

如答圖2，取格點F，連接BF.

藉助網格，可以證明GH∥AC∥BF．

（說明：最好的證法應該是求出3個以點G，A，B爲頂點的相關銳角的正弦函數值，然後利用同位角相等來證明,詳見例3）

由GH∥AC∥BF，再進一步還可以得到，即DB＝DB′．

點擊下面鏈接，詳細瞭解網格中的平行線.

2020年天津中考數學第18題改編題2（預備題）

因爲BC是直徑，所以BD⊥AC．

∴點B′與點B關於AC對稱．

因爲BC是直徑，所以∠BKC也是直角，根據三角形的三條高相交於一點（點P是△B′BC的垂心），得到B′Q是BC邊上的高．

根據前面的分析，這時BP＋PQ取得最小值．

困惑

人教版八上教材第5頁出現過三角形的重心，並要求學生自我探究三角形的內心，好像沒有提到垂心．不知道天津的考生使用的是哪一個版本的數學教材，該版本應該會提到垂心（三角形三條高相交於一點）．