2020年天津中考數學第21題評講，切線題目需要優先考慮的輔助線

原題

在⊙O中，弦CD與直徑AB相交於點P，∠ABC＝63．

（Ⅰ）如圖①，若∠APC＝100，求∠BAD和∠CDB的大小；

（Ⅱ）如圖②，若CD⊥AB，過點D作⊙O的切線，與AB的延長線相交於點E，求∠E的大小．

解答

（Ⅰ） 把∠APC看作△ PBC的一個外角，則

∠APC＝∠ABC＋∠BCD．

∴∠BCD＝37．

根據同弧所對的圓周角相等，得

∠BAD＝∠BCD＝37．

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90．

∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC．

∵∠ADC＝∠ABC＝63，

∴∠CDB＝27．

（Ⅱ）如答圖，連接OD．

依切線的性質定理，得∠ODE＝90．

∵∠BCP＝90－∠ABC＝27，

依圓周角的性質，得

∠EOD＝2∠BCP＝54．

∴∠E＝90－∠EOD＝36．

考點

三角形的外角；

同弧所對的圓周角相等；

直徑所對的圓周角是直角；

直角三角形的兩個銳角互餘；

切線的性質定理；

一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半．

評析

這是一道很好的考題，牽涉到的知識點較全面，難度適中．

在第２問中，連接OD是關鍵．一般地，如果圓的切線有給出切點，要優先考慮連接圓心與切點．