2020年天津中考數學第24題特色評講

如何求運動過程兩個圖形重疊部分面積？

原題

將一個直角三角形紙片OAB放置在平面直角座標系中，點O（0，0），點A（2，0），點B在第一象限，∠OAB＝90，∠B＝30，點P在邊OB上（點P不與點O，B重合） ．

（Ⅰ）如圖①，當OP＝1時，求點P的座標；

（Ⅱ）摺疊該紙片，使摺痕所在的直線經過點P，並與x軸的正半軸相交於點Q，且OQ＝OP，點O的對應點爲O′，設OP＝t．

①如圖②，若摺疊後△O′PQ與△OAB重疊部分爲四邊形，O′P，O′Q分別與邊AB相交於點C，D，試用含有t的式子表示O′D的長，並直接寫出t的取值範圍;

②若摺疊後△O′PQ與△OAB重疊部分的面積爲S，當1≤t≤3時，求S的取值範圍（直接寫出結果即可）．

解：（Ⅰ）依點的座標的意義，過點P作PE⊥x軸，E爲垂足．

解直角三角形OPE，得

（Ⅱ）

①分析

把點P看作是邊OB上的一個動點，點P不與點O，B重合，所以在點P運動的全程，t的取值範圍是0＜t＜4．

探究運動的全過程，不難發現，有兩個關鍵的節點．

點O′在AB邊上．這時（包括之前），△O′PQ與△OAB重疊部分爲三角形；而在之後一段時間內，△O′PQ與△OAB重疊部分爲四邊形．

△O′PQ與△OAB重疊部分又變回三角形，而且在這之後重疊部分一直爲三角形．

下面可以求關鍵節點所對應的t值了．

如答圖①，∵OP＝OQ，且∠AOB＝60，

∴△OPQ與△O′PQ都是等邊三角形．

進而得∠BO′P＝90．

∵OP＝t，則BP＝4－t．

依BP＝2 PO′列方程

4－t＝2t．

如答圖②，∵∠OAP＝60，

∴P爲OB的中點，

∴t＝2．

現在開始探究如何用含t的式子表示O′D的長．

如答圖③，在Rt△BPC中，BP＝4－t，

在Rt△O′DC中，O′D＝2O′C＝3t－4．

評析

有的朋友可能會問，如果先求AQ的長，再求DQ的長，最後求出O′D的長不是更好嗎？是的，但是要注意考試不是平常做練習（假設時間是無限制的），不要太糾結於哪種解法更快．

②根據前面的分析，我們分三種情況討論．

如答圖⑤，

爲了讓大家更清楚地理解以上答案，我們把三段函數並列，並畫出草圖如下：

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