關於四點共圓的幾個命題以及反證法的運用

命題1

如圖1，O爲△ABC內一點，若OA＝OB＝OC，則∠BOC＝2∠BAD．

這是一個真命題，

我們可以延長AO，利用三角形外角的性質以及“等邊對等角”給出證明．

其實，只要點O，A在BC的同側，都可以證明∠BOC=2∠BAD．解題思路我們並不陌生，與證明圓周角定理完全一樣．

命題2

如圖2，O爲△ABC內一點，如果OB＝OC，且∠BOC＝2∠BAC，那麼OA＝OB．

這個命題可以看作是命題1的逆命題，它也是真命題．

用反證法證明如下：

如答圖1， 延長AO，

則∠1=∠2+∠3，

假設OA＜OB，

則∠3＜∠2．

∴∠2+∠3＜2∠2．

∴∠1＜2∠2．

同理，∠4＜2∠5．

∴∠1+∠4＜2(∠2+∠5)．

即∠BOC＜2∠BAC．

這個結論與已知條件矛盾，

∴原假設不成立．

同樣的道理，如果假設OA＞OB，也可以證明這個假設不成立．

∴OA=OB．

拓展

與命題1類似，只要點O，A在BC的同側，結論都成立．

思考

如果不用反證法，可以證明嗎？

答案是肯定的，但是比較繁，詳見附錄1．

命題3

如圖3，點A，D在BC的同側，若∠BAC=∠BDC，則A，D，B，C四點共圓．

與命題2一樣，我們照樣用反證法證明這個命題是真命題．

如答圖2，過A，B，C三點作⊙O．假設點D在圓外，CD與⊙O交於點E，連接BE．

依據圓周角定理的推論“同弧所對的圓周角相等”，得∠BEC=∠A．

依據三角形外角的性質，

得∠BDC＜∠BEC，

所以∠BDC＜∠BAC．

這與已知條件矛盾，假設不成立．

同樣的道理，點D也不能在⊙O內．

所以點D在⊙O上，即A，D，B，C四點共圓．

拓展

能夠不用反證法嗎？

答案也是肯定的，證法詳見附錄2．

附錄1

不用反證法，證明命題2

如圖4，O爲△ABC內一點，若OB＝OC，且∠BOC＝2∠BAC，求證OA＝OB．

證明

過程有點繁，下面我們把它分爲六大步．

第一步，先證∠BAC＝∠ABO＋∠ACO．

如答圖3，延長AO，

由三角形外角的性質，得

∠BOC＝∠BAC＋∠ABO＋∠ACO．

∵∠BOC＝2∠BAC．

∴∠BAC＝∠ABO＋∠ACO．

由軸對稱性，得∠OBM＋∠OCN

＝2(∠OBA＋∠OCA)

＝2∠BAC＝∠BOC．

第二步，如答圖4，分別作點O關於AB，AC的對稱點M，N，然後證明∠OBM＋∠OCN＝∠BOC．

由軸對稱性，得∠OBM＋∠OCN

＝2(∠OBA＋∠OCA)

＝2∠BAC＝∠BOC．

第三步，進一步證MB∥NC．

如答圖5，在平行線一章，這是一道很經典的題目，故省略具體步驟．

第四步，如答圖6，在答圖4的基礎上，連接MN，可以證明MN=BC．

∵MB＝OB＝OC＝NC，

又MB∥NC(已證)，

∴四邊形MBCN是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．

∴MN＝BC．

第五步，如答圖6，可以證明△AMN≌△OBC．

由軸對稱，得AM＝AO=AN，且∠MAN＝2∠BAC＝∠BOC．

依“等邊對等角”以及三角形的內角和定理，得

∠AMN=∠ANM=∠OBC=OCB．

∴△AMN≌△OBC．

第六步，最後證明OB＝OA．

∵△AMN≌△OBC，

∴AM＝OB．

又AM＝AO，

∴OA＝OB．

評析

據說，這個命題有很多種證法，但都比較繁，還是用反證法好．

親愛的朋友，你有好的證法嗎？

附錄二

不用反證法證明命題3

如圖5，點A，D在BC的同側，若∠BAC=∠BDC，求證A，D，B，C四點共圓．

證明

如答圖7，設△ABC的外心爲點O（外心即外接圓的圓心，是三條邊垂直平分線的交點），連接OA，OB，OC，

則OA=OB=OC．

依命題1，還可以得到

∠BOC=2∠BAC．

∵∠BDC=∠BAC，

∴∠BOC=2∠BDC．

連接OD.

再根據命題2，得

OD=OB．

∴OA=OB=OC=OD．

∴A，D，B，C四點共圓．

評析

因爲把命題1和命題2當作定理使用，所以證題顯得比較簡單．

溫馨提示

四點共圓在新課標中不作要求.