首先给出这几个定理的一般形式：

在任一三角形ABC中，a、b、c为三角形三边，A、B、C为三条边对应的三个内角。

那么都有：

1、正弦定理：

2、余弦定理：

3、射影定理：

4、角平分线第二定理（此处假设AD平分角A。只是假设，图中根本就不是，但手头重新画图确实有点麻烦，所以就拿这张图假设）：

高中数学中的解三角形问题，主要用到的也就这四个定理。

其中正弦定理和余弦定理是解三角形的主要工具，

正弦定理对付的是知道两个角和一个边，求其它未知；

余弦定理对付的是知道两边及其夹角，求其它。

射影定理和角平分线定理主要解决在解题过程中的路径转化问题，

射影定理告诉我们一条边可以用其它两条边表示；

平分线第二定理告诉我们如果遇到角平分线，那么可以知道各个线段之间的比例关系。

对于正弦定理，我们可以通过三角形的面积公式轻松证明完成。

射影定理和角平分线第二定理使用简单的几何知识也可以很快得以证明，我们今天关注的是余弦定理的证明。

余弦定理是在任意一个三角形中，已知三角形两边及其夹角，求解第三边的一种常规方法。

这可以从直角三角形中得到快速验证：

如图

直角三角形中，斜边的平方=两直角边平方之和

但在普通三角形中，任一边的平方等于其余两边的平方之和减去2倍两边的乘积再乘以两边夹角的余弦。

比如上图中：

现在B角是直角，它的余弦值为0，所以上式依然是勾股定理。

也就是说，我们熟知的勾股定理实际上是余弦定理的一种特殊形式。

我们下面要做的，是利用几何方法、和利用平面向量工具来证明余弦定理。

几何方法证明过程如下。

如图：

图中做AD垂直于CD，就可以直接利用勾股定理写出三边之间的关系。

图中A角和贝塔角是互补的，把图中的推导过程稍加整理可得：

So: 证毕

用向量方法证明起来就极其简单：

根据向量的三角形法则：

两边平方可得：

向量的平方等于它的模的平方，两向量的点乘等于两向量模和夹角余弦的乘积，所以：

两步即得证。

向量法真的太有意思，平面几何中很多用传统方法证明的东西，需要来回折腾很多遍才能接近答案，但是，使用向量工具，从起点到终点直接光速直达，曲里拐弯的事不用去做了。

最后说说解三角形中可能遇到的几个问题，也就是几种出题方式。

在高中数学阶段，大致就这几种题型：

1、给出条件，求边、求角都是常规操作，高考真题中如果出现的话，也就是以小题的面目出现，5分左右的分值，利用正弦、余弦定理一般均可以轻松对付。

2、真题中的第17或者18的解三角形题目，大都以求面积、求周长，或者求两边之和的最值、两边之积的最值面目出现，运用综合知识较多，须特别关注。

3、求解边之和或者边之差的最值问题时，一般采用正弦定理，将所求边长用三角函数表示，继而将边长的运算转化为三角函数的运算。

4、边和边的乘积最值问题，大都需要首先使用余弦定理将边长表示出来，然后根据基本不等式的使用规则，求得两条边长乘积的最值。

5、真题中偶尔也会出现多边形问题，但实际上还是解三角形问题，因为我们只会解三角形，四边形、五边形等多边形都是分解成三角形之后，才可以轻松求解的。

正如三角函数的计算，无论角在哪一个象限，最终我们都得诱导到第一象限，才能求解。

化归！化归！

再大的问题，只要能分解成我们能解决的程度，我们就有工具干翻它。

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