摘要：（2018•泰安）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF∥AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G．。由对称性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM，。

好题真好

【题目】

（2018•泰安）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF∥AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G．

（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）找出图中与△AGB相似的三角形，并证明；

（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM²=MF•MH．

【答案】

解：（1）∠DEF=∠AEF，

理由：∵EF∥AB，

∴∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB，

∵∠EAB=∠EBA，

∴∠DEF=∠AEF；

备注：等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍，利用平行线的性质可得结论。

（2）△EOA∽△AGB，

理由：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AC⊥BD，

∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE，

∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE，

∵∠GAB=∠AEO，∠AGB=∠AOE=90°，

∴△EOA∽△AGB；

备注：题目中直角三角形不多，逐一排除即可。依然根据等腰三角形外角的性质得∠GAB=2∠ABE=∠AEO，易得结论。

（3）如图，连接DM，∵四边形ABCD是菱形，

由对称性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM，

∵AB∥CH，

∴∠ABM=∠H，

∴∠ADM=∠H，

∵∠DMH=∠FMD，

∴△MFD∽△MDH，

∴DM/MH=MF/DM，

∴DM²=MF•MH，

∴BM²=MF•MH．

备注：一线段平方等于两线段的乘积，易得题目考察相似。由于三条线段在同一直线上面，因此必须转化。观察易得MD²＝MF·MH，因此利用菱形的轴对称性把MB转化为MD即可。再利用等腰得到结论。

拓展：

泰安市，隶属于山东省，位于山东省中部，北依山东省省会济南，南临儒家文化创始人孔子故里曲阜，东连商城临沂，西濒黄河。北距省会济南市66.8千米，南至三孔圣地曲阜市74.6千米。泰安因泰山而得名，“泰山安则四海皆安”，寓国泰民安之意。城市位于泰山脚下，依山而建，山城一体。截至2018年，泰安市辖2个市辖区，2个县级市，2个县。

泰安市境内的泰山是国家重点风景名胜区，有“五岳之首”、“天下第一山”的美誉，是世界自然与文化遗产。泰安市于1982年被国务院列为第一批对外开放旅游城市。是鲁中地区中心城市之一，中国优秀旅游城市，国家历史文化名城。2018年央视狗年春晚分会场确定，泰安为四大分会场之一。2018年11月，入选中国城市全面小康指数前100名。