如何計算蛋蛋的體積呢？

翻譯作者，獨行者，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對，333。

之前的一篇文章，我們已經知道如何用方程來擬合雞蛋的形狀。在平面上，我們有下列公式(1)

這篇文章的主要內容是爲了求出雞蛋的體積。通過將函數繞x軸旋轉，我們可以由此求出體積。並且，我們還會把它和橢球的體積進行比較。

首先，將函數f(x)在區間[c, d]上的圖像繞x軸旋轉一週，於是我們便得到體積公式(2)

即使被積函數是關於函數f的平方，我們也能輕鬆地用積分求出來。因爲在這個例子當中，如果我們將曲線的方程顯式地表示爲y關於x的函數時，函數表達式中會有開平方，從而消去了式子的中的平方運算符。因此，我們的體積可以求得（3）

接下來，我們將雞蛋的體積和橢球進行比較。爲了更容易看出兩者之間的差異，我們現在將式子中反雙曲正切函數用冪級數展開（4）。

那麼，體積的表達式便如下所示（5）

我們會注意到，如果a=b=r，k=0，那麼式子便會簡化成一個球。該球半徑爲r，體積爲4πr³/3。如果a、b不一定相等，但是如果k=0，那麼，便是橢球的體積4πab²/3。

定律一：k對體積影響甚微。在上述級數中，k只出現在2次及更高次的項中。這表明在一階近似時，雞蛋的體積（假定形狀遵循我們所給的公式,注意到|k|很小）便約等於一個擁有相同長軸和短軸的橢球的體積。另外，我們也注意到k只出現在偶次冪的項中。這一點與我們之前的直觀判斷一致。在前文中，我們認爲改變k的符號僅僅表示將雞蛋翻個身，並不會改變雞蛋的體積。

定律二：如果展開到2次項，雞蛋的體積和橢球的體積之間相差了一個k的二次函數。爲了將一個橢圓變成一個雞蛋的形狀，你需要將一端變得平整，而另一端則要變得更尖。但同時還要保持長度和寬度不變，那麼你還再要增加體積。你要在平整的一端增加出來的體積會比尖的一端失去的要多一些。