你是無理的

　　也是神祕的

　　舉國歡慶，明天就要開始放假了。

　　後來想想，國慶假期我好像要寫文章，發文章，那這假期跟我啥關係？

　　此時的我，留下了悔恨的淚水，寫下這篇讓你們無法無眠的文章。

　　今天，超模君先從康威常數開始，跟各位模友分享那些神祕的常數。

　　康威常數

　　λ ≈ 1.303577269

　　老頑童康威

　　在講康威常數之前，超模君先帶大家瞭解一下外觀數列（Look-and-say sequence）。

　　1，

　　11，

　　21，

　　1211，

　　111221，

　　312211，

　　13112221，

　　1113213211，

　　31131211131221，

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　　這個數列有非常多有趣的特點：

　　①它以1開始，序列的第n+1項是對第n項的描述。

　　比如：第5項是111221，描述就是3個1，2個2，1個1， 可得下一項就是312211。

　　②按照①的規律，這個數列會越來越長，但是它永遠都不會出現除了1，2，3之外的數字；

　　1987 年，喜歡研究各種趣味數學的康威看着這個數列，覺得非常有趣，然後就開始研究，

　　“一不小心”就發現了一個“明顯”的規律

　　！

　　隨着n的增大，相鄰兩項數字長度的比值L(n) / L(n-1)會越來越接近一個固定的數。這個數就稱爲“康威常數”，用λ 表示，康威證明了它是一個無理數。

　　同時，康威還指出這個數是下面這個71次方程的唯一正實數解。

　　x^71 - x^69 - 2*x^68 - x^67 + 2*x^66 + 2*x^65 + x^64 - x^63 - x^62 - x^61 - x^60 - x^59 + 2*x^58 + 5*x^57 + 3*x^56 - 2*x^55 - 10*x^54 - 3*x^53 - 2*x^52 + 6*x^51 + 6*x^50 + x^49 + 9*x^48 - 3*x^47 - 7*x^46 - 8*x^45 - 8*x^44 + 10*x^43 + 6*x^42 + 8*x^41 - 5*x^40 - 12*x^39 + 7*x^38 - 7*x^37 + 7*x^36 + x^35 - 3*x^34 + 10*x^33 + x^32 - 6*x^31 - 2*x^30 - 10*x^29 - 3*x^28 + 2*x^27 + 9*x^26 - 3*x^25 + 14*x^24 - 8*x^23 - 7*x^21 + 9*x^20 + 3*x^19 - 4*x^18 - 10*x^17 - 7*x^16 + 12*x^15 + 7*x^14 + 2*x^13 - 12*x^12 - 4*x^11 - 2*x^10 + 5*x^9 + x^7 - 7*x^6 + 7*x^5 - 4*x^4 + 12*x^3 - 6*x^2 + 3*x - 6 = 0

　　歐拉常數

　　γ ≈ 0.577

　　數頻-歐拉常數R≈0.273

　　爲啥會有兩個常數？

　　我們先來看一個古老的調和級數：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ……

　　隨着分母的不斷增大，每一項增加的數會越來越小，這樣無限加下去，直覺上這個級數會收斂到一個固定的值。

　　然而，這個級數卻是

　　發散

　　的。。。儘管相加的分數會越來越小，但是這樣無限進行下去，它們的和也會變得

　　無窮大

　　！

　　早在1360年，數學家Oresme就證明了這個級數是發散的，證明方法也是非常簡單：

　　1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +……

　　=1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……

　　解釋：後一個級數每一項對應的分數都小於調和級數中每一項，而且後面級數的括號中的數值和都爲1/2，這樣的1/2有無窮多個，所以後一個級數是趨向無窮大的，進而調和級數也是發散的。

　　此後，數學家們一直想要用數學公式來逼近調和級數，卻毫無進展，直到無窮級數理論逐漸成熟。

　　1665年，牛頓在他的著作《流數法》中推導出了第一個冪級數：

　　1734年，歐拉利用牛頓的成果，首次得到了調和級數有限多項和的值：

　　1+1/2+1/3+…+1/n= ln(n+1) +1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......

　　由於後面那一串數是收斂的，歐拉由此判斷它們將無限趨近一個常數，用C表示。即：

　　1+1/2+1/3+…+1/n= ln(n+1) +C（常數）

　　歐拉還近似地算出了這個常數 C ≈0.5772156649。這個數字後來被稱爲“歐拉常數”。

　　到了1790年，意大利數學家馬歇羅尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作爲這個常數的符號，並把這個常數計算到了小數點後32位，因此“歐拉常數”也稱“歐拉-馬歇羅尼常數”。

　　不過，2015年出版的《數頻科學》指出“歐拉常數”是歐拉的一個致命錯誤！

　　由於歐拉的誤算，導致這個常數與調和級數完全無關（但可以獨立成立）。數頻-歐拉常數R≈0.273纔是調和級數與自然對數的差值的極限。

　　錢珀瑙恩常數

　　C10 ≈ 0.123456789101112

　　前面兩個常數也許你會覺得有點抽象，不太理解，那這個

　　錢珀瑙恩常數

　　就十分簡單了，它是指：將所有正整數從小到大寫成一排，然後在前面加個小數點，就ok了！

　　即：0.12345678910111213141516……

　　這個常數是由英國統計學家錢珀瑙恩（Champernowne）於1933年構造出來的，用符號

　　表示。

　　和其他的常數不同，錢珀瑙恩常數並沒有描述任何一個數學對象，它只是爲了論證一些數學問題而被構造出來的。它可以用無窮級數來表示：

　　不過，錢珀瑙恩常數也有一些特殊的性質：

　　①它是一個無限不循環小數，因此它是一個無理數；

　　②它不是任何一個整係數多項式方程的解，因此它是一個超越數；

　　③每一種數字或者數字組合出現的機會都是均等的，因此它是一個正規數。

　　黃金分割

　　φ= (1 + √5)/2 ≈ 1.618

　　黃金分割數0.618是公認的最具有審美意義的比例數字，關於它的誕生，有這樣一個傳說：

　　相傳，在公元前6世紀的某一天，畢達哥拉斯在街上閒逛，在經過一家鐵匠鋪時，聽到一段很動聽的鐵匠打鐵的敲擊聲，於是便走進去，量了量鐵砧和鐵錘的尺寸，發現他們之間的比例很有趣，後來，經過無數次的試驗之後，得到了這樣一個結論：

　　線段長度比例約接近0.618，敲出來的聲音就越優雅！

　　0.618與1.618互爲倒數

　　雖然這只是一個傳說，但是黃金分割的最初來源確實是來自畢達哥拉斯。在公元前6世紀的時候，畢達哥拉斯學派就研究過正五邊形和正十邊形的作圖。

　　在正五邊形裏AC/AB=BC/AB=0.618，CD/BC=BD/BE=0.618

　　在正十邊形裏，AB/OA=0.618。

　　公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統地研究了黃金分割問題，並建立起比例理論。

　　到了公元前300年左右，歐幾里得吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，並將這些研究成果寫進了《幾何原本》，它是最早的有關黃金分割的論著。

　　黃金分割無處不在，幾乎所有與美有關的東西，都會與它扯上關係。遍佈各種名畫、攝影、建築、音樂等等，甚至炒股、戰爭佈局、醫學……

　　而在數學上，還有這樣一個“黃金分割數列”，就是“斐波那契數列”。

　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····

　　這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和。而在這個數列中，還隱藏着一個0.618。

　　隨着數列項數的增加，前一項與後一項之比會越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887..…

　　放假雖爽，可不要貪睡哦。

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