讓我們先來了解“將軍飲馬”這個故事。

古希臘亞里山大里亞城有一位久負盛名的學者，名叫海倫。

有一天，有位將軍不遠千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題：如圖，將軍A從出發到河邊飲馬，然後再到B地軍營視察，顯然有許多走法．問怎樣走路線最短呢？精通數理的海倫稍加思索，便作了完善的回答．這個問題後來被人們稱作“將軍飲馬”問題．

下面我們來看看數學家是怎樣解決的．海倫發現這是一個求折線和最短的數學問題．

根據公理：連接兩點的所有線中，線段最短．

若A、B在河流的異側，直接連接AB，AB與l的交點即爲所求．

若A、B在河流的同側，根據兩點間線段最短，那麼顯然要把折線變成直線再解．

將軍飲海倫解決本問題時，是利用作對稱點把折線問題轉化成直線

現在人們把凡是用對稱點來實現解題的思想方法叫對稱原理，即軸對稱思想

軸對稱的兩個圖形有如下性質：

①關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形；

②對稱軸是任何一對對應點所連線的垂直平分線；

③兩個圖形關於某條直線對稱，如果他們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上．

將軍飲馬的數學問題，考察的知識點：“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“點關於線對稱”，“線段的平移”。

解題總思路：找點關於線的對稱點實現“折”轉“直”，近兩年出現“三折線”轉“直”等變式問題考查。共有七大模型：

模型1，PA+PB最小

模型2，PA-PB最小

模型3，PA-PB最大

【變形】異側時，也可以問：在直線l上是否存在一點P使得直線l爲∠APB的角平分線

模型4，周長最短

模型5，“過河”最短距離

模型6，線段和最小

模型7，在直角座標系的運用

題目鞏固

1.如圖，直線 l 和 l 的異側兩點 A、B，在直線 l 上求作一點 P，使 PA+PB 最小。

2.如圖，直線 l 和 l 的同側兩點 A、B，在直線 l 上求作一點 P，使 PA+PB 最小。

3.如圖，點 P 是∠MON 內的一點，分別在 OM，ON 上作點 A，B。使△PAB 的周長最小

4.如圖，點 P，Q 爲∠MON 內的兩點，分別在 OM，ON 上作點 A，B。使四邊形 PAQB 的周長最小。

5.如圖，點 A 是∠MON 外的一點，在射線 ON 上作點 P，使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小

6.如圖，點 A 是∠MON 內的一點，在射線 ON 上作點 P，使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小

當已知條件出現了等腰三角形、角平分線、高，或者求幾條折線段的最小值等情況，通常考慮作軸對稱變換，以“補齊”圖形，集中條件。

所有的軸對稱圖形（角、線、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓、座標軸），都可以考察“將軍飲馬”問題。