讓我們先來了解“將軍飲馬”這個故事。

古希臘亞里山大里亞城有一位久負盛名的學者,名叫海倫。

有一天,有位將軍不遠千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題:如圖,將軍A從出發到河邊飲馬,然後再到B地軍營視察,顯然有許多走法.問怎樣走路線最短呢?精通數理的海倫稍加思索,便作了完善的回答.這個問題後來被人們稱作“將軍飲馬”問題.

下面我們來看看數學家是怎樣解決的.海倫發現這是一個求折線和最短的數學問題.

根據公理:連接兩點的所有線中,線段最短.

若A、B在河流的異側,直接連接AB,AB與l的交點即爲所求.

若A、B在河流的同側,根據兩點間線段最短,那麼顯然要把折線變成直線再解.

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

將軍飲海倫解決本問題時,是利用作對稱點把折線問題轉化成直線

現在人們把凡是用對稱點來實現解題的思想方法叫對稱原理,即軸對稱思想

軸對稱的兩個圖形有如下性質:

①關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形;

②對稱軸是任何一對對應點所連線的垂直平分線;

③兩個圖形關於某條直線對稱,如果他們的對應線段或延長線相交,那麼交點在對稱軸上.

將軍飲馬的數學問題,考察的知識點:“兩點之間線段最短”,“垂線段最短”,“點關於線對稱”,“線段的平移”。

解題總思路:找點關於線的對稱點實現“折”轉“直”,近兩年出現“三折線”轉“直”等變式問題考查。共有七大模型:

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

模型1,PA+PB最小

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

模型2,PA-PB最小

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

模型3,PA-PB最大

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【變形】異側時,也可以問:在直線l上是否存在一點P使得直線l爲∠APB的角平分線

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

模型4,周長最短

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模型5,“過河”最短距離

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模型6,線段和最小

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初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

模型7,在直角座標系的運用

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

題目鞏固

1.如圖,直線 l 和 l 的異側兩點 A、B,在直線 l 上求作一點 P,使 PA+PB 最小。

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

2.如圖,直線 l 和 l 的同側兩點 A、B,在直線 l 上求作一點 P,使 PA+PB 最小。

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

3.如圖,點 P 是∠MON 內的一點,分別在 OM,ON 上作點 A,B。使△PAB 的周長最小

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

4.如圖,點 P,Q 爲∠MON 內的兩點,分別在 OM,ON 上作點 A,B。使四邊形 PAQB 的周長最小。

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

5.如圖,點 A 是∠MON 外的一點,在射線 ON 上作點 P,使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

6.如圖,點 A 是∠MON 內的一點,在射線 ON 上作點 P,使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小

初中數學,“將軍飲馬”的七大模型,非常有用!

當已知條件出現了等腰三角形、角平分線、高,或者求幾條折線段的最小值等情況,通常考慮作軸對稱變換,以“補齊”圖形,集中條件。

所有的軸對稱圖形(角、線、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓、座標軸),都可以考察“將軍飲馬”問題。

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