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疑惑

Max導出的fbx模型文件加載到客戶端，對變換矩陣做了如下的轉換，把Z-up右手座標系的變換矩陣換到Y-up左手座標系的變換矩陣。咋一看相當懵逼~

FORCEINLINE void _DxMatrixToApexMatrix(physx::PxMat44& matrix, const XMFLOAT4X4& xmMatrix)
{
    XMFLOAT4X4 mat = xmMatrix;    

    std::swap(mat._21, mat._31);
    std::swap(mat._22, mat._32);
    std::swap(mat._23, mat._33);
    std::swap(mat._24, mat._34);

    std::swap(mat._12, mat._13);
    std::swap(mat._22, mat._23);
    std::swap(mat._32, mat._33);
    std::swap(mat._42, mat._43);

    memcpy((void*)matrix.front(), &mat._11, sizeof(float) * 16);    
}

座標系的不同

  • max max裏面是Z朝上的右手座標系，如圖(a)所示.

  • DX11 客戶端用的DX11是Y軸朝上的左手座標系，如圖(b)所示.

座標系轉換

  • 錯誤的做法

一開始想的是把Y和Z換一下就好了，那麼矩陣裏面把第二行和第三行換一下不就行了。代碼應該是這樣：

FORCEINLINE void _DxMatrixToApexMatrix(physx::PxMat44& matrix, const XMFLOAT4X4& xmMatrix)
{
    XMFLOAT4X4 mat = xmMatrix;    

    std::swap(mat._21, mat._31);
    std::swap(mat._22, mat._32);
    std::swap(mat._23, mat._33);
    std::swap(mat._24, mat._34);

    memcpy((void*)matrix.front(), &mat._11, sizeof(float) * 16);    
}

結果爲什麼還要換一下第二列和第三列呢？ 把Y和Z換一下這個是對的，比如一個向量(x, y, z)變成(x, z, y)。但是，變換矩陣卻不能這樣操作！我的理解是，矩陣裏面有旋轉、縮放、平移，針對的是模型上的所有點。只換第二行和第三行是包括了部分縮放和旋轉信息，最後對模型上點進行轉換的時候都不知道結果是什麼。

  • 驗證 假設在Z-up右手座標系有一個點P$(x, y, z)$，和這個點的變換矩陣：

算一下點P在Z-up右手座標系變換後的點，和點P1在Y-up左手座標系變換後的點是不是依舊是同一個點！其中P1=(x, z, y)，爲P在Y-up座標系中相同的點，換了一下Y和Z

注意：在Y-up的變換矩陣下P也應該在該座標系下面，即P1 = (x, z, y)

（1）點P在Z-up右手座標系變換之後的點爲：P*M

（2）點P在錯誤的Y-up左手座標系變換之後的點爲：P1*M1

（3）點P在正確的Y-up左手座標系變換矩陣變換之後的嗲哪位：P1*M2

小結：

（1）可以看到，P M和P1 M2的結果換一下Y和Z軸就是一樣的，這也說明M2纔是正確的變換矩陣！

（2）同時，可以看到P1 M1的結果和P M的結果是一樣的，這就奇怪了，P1在Y-up左手座標系用這個矩陣變換後又回到了Z-up右手座標系裏面的座標（等於沒有變換了）

原理

參考[1]中給出了說明，翻譯一下如下：

M_YZ右手 = ...// 變換YZ座標得到在Z-up右手座標系的點
M_YZ左手 = 求逆(M_YZ右手)  // 變換YZ座標重新得到在Y-up左手座標系的座標
M右手 = ...  // 在Z-up右手座標系下的一個變換矩陣
M左手 = M_YZ右手 * M右手 * M_YZ左手

簡單說明一下：

  • 理解上就是不能在不同的座標系下面矩陣變換。現在是已知在Z-up下面的變換矩陣，求在Y-up下面的變換矩陣。那麼就先把點變換到Z-up右手座標系中，進行矩陣變換，得到點在Z-up右手座標系新的位置，然後再把這個點換YZ座標重新得到在Y-up左手座標系的座標。

  • M_YZ右手指的是在Z-up右手座標系裏面的把Y和Z換一下，也就是把Z-UP右手座標系裏面的點變換到了Y-up左手座標系裏面的點

  • M_YZ左手是相反的操作，其實就是M_YZ右手的逆矩陣，而這裏兩者是相等的，簡單驗證就是$M_{YZ-Left} * {M_{YZ-Right}}^{-1}$爲單位矩陣

結論

  • 數學大法好啊

參考

[1] Changing a matrix from right-handed to left-handed coordinate system

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