難倒猶太人的11個數學問題

數學建模

這個並不是標題黨。很多年以前，要想進入莫斯科國立大學的數學系，你必須通過四項入學考試；頭兩個都是數學考試，一個筆試，一個面試。

在面試中，學生和考官都是一對一的，考官可以自由向學生提出任何他喜歡的問題。

考官們都準備了很多“棺材問題”，這些問題的答案非常簡單，但由於思路太巧妙了，以至於學生很難想到。考官便可以以“你連這個都沒想到”爲理由，光明正大地拒絕學校不想要的人（主要是猶太人）。

民間還流傳着很多其他的“棺材問題”列表。 Ilan Vardi 曾經寫過一篇題爲 Mekh-Mat Entrance Examinations Problems 的論文，收集了 25 個“棺材問題”，並給出瞭解答。這篇論文被收錄進了 You Failed Your Math Test, Comrade Einstein 一書中。 Ilan Vardi 發現，這 25 個問題的“難法”有所不同。雖然其中不乏思路奇巧的好題，但也有不少步驟繁瑣（當然也有可能是還沒找到好的解法）、題意不清甚至結論錯誤的題目。

這裏，我選取了 11 個比較有意思的問題，寫下來和大家分享。

找出所有的函數 F(x): R→R ，使得對於任意兩個實數 x₁ 、 x₂ 都滿足 F(x₁) – F(x₂) ≤ (x₁ – x₂)² 。

答案：不等式可以變爲 (F(x₁) – F(x₂)) / |x₁ – x₂| ≤ |x₁ – x₂| ，於是我們立即可知，對於任意實數 x₂ ，函數在 x₂ 處的導數都爲 0 。因此， F(x) 是常函數。

給定三角形 ABC ，用尺規作圖找出 AB 上的一點 K 以及 BC 上的一點 M ，使得 AK = KM = MC 。

答案：先在 BC 上任取一個點 M’ ，然後用圓規截取 AD = CM’ 。過 D 作 AC 的平行線，以 M’ 爲圓心 M’C 爲半徑作圓，與這條平行線交於點 K’ 。過 K’ 作 AB 的平行線。

容易看出，此時 A’K’ = K’M’ = M’C ，並且三角形 A’B’C 與整個大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 爲中心將 A’B’C 放大到 ABC ，就可以得到滿足要求的 K 點和 M 點了。

因此，我們延長 CK’ ，並把它與 AB 的交點記爲點 K ，這個點 K 就是要求的點。既然 AK 的長度知道了， M 點的位置也就確定了。

解方程。

答案：令 x = (y^3 + 1) / 2 ，原式就變成了 y = (x^3 + 1) / 2 。如果令函數 f(t) = (t^3 + 1) / 2，你會發現 x 和 y 同時滿足 f(x) = y 和 f(y) = x 。然而函數 f(t) 是嚴格單調遞增的，因此 x 一定等於 y 。

於是，方程就變成了 y^3 – 2y + 1 = 0 。等式左邊可以變爲 (y^3 – y^2) + (y^2 – y) – (y – 1) ，進而分解爲 (y – 1)(y^2 + y – 1) 。於是得到方程的三個解： y = 1 和 y = (- 1 ± √5) / 2 。

給定平面上的一個點 M 以及一個角 XOY 。用尺規作圖確定出一條過 M 的直線，使得它與這個角的兩邊圍成的三角形周長爲一個給定值 p 。

答案：在角的兩邊上分別作出 A 、 B 兩點，使得 AO = BO = p / 2 。過 A 、 B 兩點分別作所在直線的垂線，兩垂線交於點 C 。不難看出， AC 和 BC 的長度相等。

事實上，如果以 C 爲圓心作一個經過 A 、 B 的圓，這個圓將正好和角 XOY 的兩邊切於 A 、 B 兩點。

現在，過 M 作這個圓的切線，將切點記爲 T 。只需要注意到 PT = PA ，並且 QT = QB ，因此三角形 OPQ 的周長就等於 AO + BO ，也就是 p 。

補充一下切線的作法：以 MC 爲直徑作圓，與圓 C 交於點 T 。於是 ∠CTM 是一個直角，因而 MT 就是切線。

給定一個等邊三角形 ABC ，以及三角形內的一個點 O ，滿足 ∠AOC = x ， ∠BOC = y 。如果用線段 AO 、 BO 、 CO 組成一個三角形，它的各個內角是多少（用 x 和 y 來表示）？

答案：將整個三角形繞着點 A 順時針旋轉 60 度，把 B 和 O 的落點分別記作 B’ 和 O’ 。這樣的話， ∠AO’B 和 ∠BO’B’ 的角度也是 x 和 y ，並且 CO = BO’ 。

另外，由於 AO 與 AO’ 長度相等且夾角爲 60 度，因此三角形 AOO’ 是等邊三角形， AO = OO’ 。

因此，三角形 BOO’ 的三邊長度實際上就分別等於 AO 、 BO 、 CO 。根據已知條件很容易算出它的三個內角度數，它們分別是 x – 60° 、 y – 60° 和 300° – x – y 。

給定平面上的兩條相交直線。到這兩條直線的距離和等於某個給定值 p 的所有點將組成一個什麼樣的圖形？

答案：一個矩形。假設有一個等腰三角形 ABC ，底邊 BC 上有一個動點 P 。把三角形腰長記爲 l ，把 P 到兩腰的距離分別記作 PM 和 PN 。線段 AP 將三角形 ABC 分成了左右兩個小三角形，它們的面積和 (l · PM) / 2 + (l · PN) / 2 = l · (PM + PN) / 2 是一個定值（即整個三角形的面積），因此 PM + PN 也是一個定值。這個定值就是等腰三角形腰上的高。

兩條相交直線將產生四個角，每個角里都有這麼一個“底邊”。這四條“底邊”組成了一個矩形。

能否在平面上放置六個點，使得任意兩點之間的距離都是整數，並且任意三點不共線？

答案：可以。我們先專心構造出任意兩點之間的距離都是有理數的點集，再把所有點的座標都擴大一個相同的倍數即可。把三邊長分別爲 3 、 4 、 5 的經典直角三角形放在平面直角座標系上，斜邊放在 x 軸上，斜邊的中點和原點重合。那麼，斜邊上的高 CH 一定是有理數，因爲由面積法可知它等於 AC · BC / AB 。另外，由於 △AHC 、 △BHC 、 △ABC 都是相似的，它們都是 3 : 4 : 5 的三角形，可知 AH 、 BH 也都是有理數。另外， C 到原點 O 的距離也是有理數，因爲它是直角三角形斜邊上的中線，它等於斜邊長度的一半。

現在，把 C 沿着 x 軸翻折到 C’ ，再把 C 和 C’ 分別沿 y 軸翻折到 D 和 D’ 。於是 A 、 B 、 C 、 C’ 、 D 、 D’ 就是滿足要求的六個點。爲了去掉分母，我們需要把它們的座標都擴大到原來的 10 倍，於是得到一個答案：(±25, 0) 以及 (±7, ±24) 。

事實上，我們有辦法構造出平面上任意多個點，使得它們兩兩之間距離都爲整數，同時任意三點都不共線。

給出 AB 、 BC 、 CD 、 DA 四條邊的長度，以及 AB 和 CD 兩邊中點的連線長度，用尺規作圖還原出四邊形 ABCD 來。

答案：讓我們先來看一個簡單的問題：已知三角形其中兩邊的長以及第三邊上的中線，如何用尺規作圖還原出這個三角形來？我們可以先倍長中線 AD 到 E ，容易看出 BE 和 AC 平行且相等。我們已經知道 AB 、 BE 和 AE 的長度（ AE 的長度就是兩倍的 AD ），便能確定出三角形 ABE 來。然後，截取 AE 的一半 AD ，再把 BE 平移到 AC ，就得到要求的三角形 ABC 了。

回到原問題。將 AB 的中點記爲 E 。把 AD 和 BC 分別平移到 ED’ 和 EC’ 。於是， CC’ 和 DD’ 是平行且相等的（它們都平行且等於 AB 的一半），如果把 C’D’ 和 CD 的交點記作 F ，那麼 △CC’F 和 △DD’F 是全等的， F 既是 CD 的中點，又是 C’D’ 的中點。由於我們知道 EC’ 、 EF 、 ED’ 的長度，用剛纔的方法我們就能畫出三角形 EC’D’ 了。

現在，把 BC 平移到 AC” ，容易看出 △EC’D’ 和 △AC”D 是全等的，而 CC” 和 CD 的長度是已知的。這樣一來，問題就解決了。把剛纔畫的三角形當作 △AC”D ，再以 C” 和 D 爲圓心分別作圓，找出 C 點的位置。最後把 AC” 平移到 BC ，我們就作出了四邊形 ABCD 的全部四個頂點。

給定線段 AB ，再預先給定一條與 AB 平行的直線。只用直尺作圖，將線段 AB 六等分。