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今天講講 Union-Find 算法，也就是常說的並查集算法，主要是解決圖論中「動態連通性」問題的。名詞很高端，其實特別好理解，等會解釋，另外這個算法的應用都非常有趣。

說起這個 Union-Find，應該算是我的「啓蒙算法」了，因爲《算法4》的開頭就介紹了這款算法，可是把我秀翻了，感覺好精妙啊！後來刷了 LeetCode，並查集相關的算法題目都非常有意思，而且《算法4》給的解法竟然還可以進一步優化，只要加一個微小的修改就可以把時間複雜度降到 O(1)。

廢話不多說，直接上乾貨。先解釋一下什麼叫動態連通性吧。

一、問題介紹

簡單說，動態連通性其實可以抽象成給一幅圖連線。比如下面這幅圖，總共有 10 個節點，他們互不相連，分別用 0~9 標記：

現在我們的 Union-Find 算法主要需要實現這兩個 API：

class UF {
    /* 將 p 和 q 連接 */
    public void union(int p, int q);
    /* 判斷 p 和 q 是否連通 */
    public boolean connected(int p, int q);
    /* 返回圖中有多少個連通分量 */
    public int count();
}

這裏所說的「連通」是一種等價關係，也就是說具有如下三個性質：

1、自反性：節點 p 和 p 是連通的。

2、對稱性：如果節點 p 和 q 連通，那麼 q 和 p 也連通。

3、傳遞性：如果節點 p 和 q 連通， q 和 r 連通，那麼 p 和 r 也連通。

比如說之前那幅圖，0～9 任意兩個 不同 的點都不連通，調用 connected 都會返回 false，連通分量爲 10 個。

如果現在調用 union(0, 1) ，那麼 0 和 1 被連通，連通分量降爲 9 個。

再調用 union(1, 2) ，這時 0,1,2 都被連通，調用 connected(0, 2) 也會返回 true，連通分量變爲 8 個。

判斷這種「等價關係」非常實用，比如說編譯器判斷同一個變量的不同引用，比如社交網絡中的朋友圈計算等等。

這樣，你應該大概明白什麼是動態連通性了，Union-Find 算法的關鍵就在於 union 和 connected 函數的效率。那麼用什麼模型來表示這幅圖的連通狀態呢？用什麼數據結構來實現代碼呢？

二、基本思路

注意我剛纔把「模型」和具體的「數據結構」分開說，這麼做是有原因的。因爲我們使用森林（若干棵樹）來表示圖的動態連通性，用數組來具體實現這個森林。

怎麼用森林來表示連通性呢？我們設定樹的每個節點有一個指針指向其父節點，如果是根節點的話，這個指針指向自己。

比如說剛纔那幅 10 個節點的圖，一開始的時候沒有相互連通，就是這樣：

class UF {
    // 記錄連通分量
    private int count;
    // 節點 x 的節點是 parent[x]
    private int[] parent;

    /* 構造函數，n 爲圖的節點總數 */
    public UF(int n) {
        // 一開始互不連通
        this.count = n;
        // 父節點指針初始指向自己
        parent = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            parent[i] = i;
    }

    /* 其他函數 */
}

如果某兩個節點被連通，則讓其中的（任意）一個節點的根節點接到另一個節點的根節點上：

public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 將兩棵樹合併爲一棵
    parent[rootP] = rootQ;
    // parent[rootQ] = rootP 也一樣
    count--; // 兩個分量合二爲一
}

/* 返回某個節點 x 的根節點 */
private int find(int x) {
    // 根節點的 parent[x] == x
    while (parent[x] != x)
        x = parent[x];
    return x;
}

/* 返回當前的連通分量個數 */
public int count() { 
    return count;
}

這樣，如果節點p和q連通的話，它們一定擁有相同的根節點：

public boolean connected(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    return rootP == rootQ;
}

至此，Union-Find 算法就基本完成了。是不是很神奇？竟然可以這樣使用數組來模擬出一個森林，如此巧妙的解決這個比較複雜的問題！

那麼這個算法的複雜度是多少呢？我們發現，主要 API connected 和 union 中的複雜度都是 find 函數造成的，所以說它們的複雜度和 find 一樣。

find 主要功能就是從某個節點向上遍歷到樹根，其時間複雜度就是樹的高度。我們可能習慣性地認爲樹的高度就是 logN ，但這並不一定。 logN 的高度只存在於平衡二叉樹，對於一般的樹可能出現極端不平衡的情況，使得「樹」幾乎退化成「鏈表」，樹的高度最壞情況下可能變成 N 。

所以說上面這種解法， find , union , connected 的時間複雜度都是 O(N)。 這個複雜度很不理想的，你想圖論解決的都是諸如社交網絡這樣數據規模巨大的問題，對於 union 和 connected 的調用非常頻繁，每次調用需要線性時間完全不可忍受。

問題的關鍵在於，如何想辦法避免樹的不平衡呢？只需要略施小計即可。

三、平衡性優化

我們要知道哪種情況下可能出現不平衡現象，關鍵在於 union 過程：

public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 將兩棵樹合併爲一棵
    parent[rootP] = rootQ;
    // parent[rootQ] = rootP 也可以
    count--; 

我們一開始就是簡單粗暴的把 p 所在的樹接到 q 所在的樹的根節點下面，那麼這裏就可能出現「頭重腳輕」的不平衡狀況，比如下面這種局面：

長此以往，樹可能生長得很不平衡。 我們其實是希望，小一些的樹接到大一些的樹下面，這樣就能避免頭重腳輕，更平衡一些 。 解決方法是額外使用一個 size 數組，記錄每棵樹包含的節點數，我們不妨稱爲「重量」：

class UF {
    private int count;
    private int[] parent;
    // 新增一個數組記錄樹的“重量”
    private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        // 最初每棵樹只有一個節點
        // 重量應該初始化 1
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }
    /* 其他函數 */
}

比如說 size[3] = 5 表示，以節點 3 爲根的那棵樹，總共有 5 個節點。這樣我們可以修改一下 union 方法：

public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;

    // 小樹接到大樹下面，較平衡
    if (size[rootP] > size[rootQ]) {
        parent[rootQ] = rootP;
        size[rootP] += size[rootQ];
    } else {
        parent[rootP] = rootQ;
        size[rootQ] += size[rootP];
    }
    count--;
}

這樣，通過比較樹的重量，就可以保證樹的生長相對平衡，樹的高度大致在 logN 這個數量級，極大提升執行效率。

此時， find , union , connected 的時間複雜度都下降爲 O(logN)，即便數據規模上億，所需時間也非常少。

四、路徑壓縮

這步優化特別簡單，所以非常巧妙。我們能不能進一步壓縮每棵樹的高度，使樹高始終保持爲常數？

這樣 find 就能以 O(1) 的時間找到某一節點的根節點，相應的， connected 和 union 複雜度都下降爲 O(1)。

要做到這一點，非常簡單，只需要在 find 中加一行代碼：

private int find(int x) {
    while (parent[x] != x) {
        // 進行路徑壓縮
        parent[x] = parent[parent[x]];
        x = parent[x];
    }
    return x;
}

這個操作有點匪夷所思，看個 GIF 就明白它的作用了（爲清晰起見，這棵樹比較極端）：

可見，調用 find 函數每次向樹根遍歷的同時，順手將樹高縮短了，最終所有樹高都不會超過 3（ union 的時候樹高可能達到 3）。

PS：讀者可能會問，這個 GIF 圖的 find 過程完成之後，樹高恰好等於 3 了，但是如果更高的樹，壓縮後高度依然會大於 3 呀？不能這麼想。這個 GIF 的情景是我編出來方便大家理解路徑壓縮的，但是實際中，每次 find 都會進行路徑壓縮，所以樹本來就不可能增長到這麼高，你的這種擔心應該是多餘的。

五、最後總結

我們先來看一下完整代碼：

class UF {
    // 連通分量個數
    private int count;
    // 存儲一棵樹
    private int[] parent;
    // 記錄樹的“重量”
    private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }

    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;

        // 小樹接到大樹下面，較平衡
        if (size[rootP] > size[rootQ]) {
            parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        } else {
            parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        }
        count--;
    }

    public boolean connected(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        return rootP == rootQ;
    }

    private int find(int x) {
        while (parent[x] != x) {
            // 進行路徑壓縮
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }
}

Union-Find 算法的複雜度可以這樣分析：構造函數初始化數據結構需要 O(N) 的時間和空間複雜度；連通兩個節點 union 、判斷兩個節點的連通性 connected 、計算連通分量 count 所需的時間複雜度均爲 O(1)。

至此，算法就說完了。後續可以考慮談幾道用到該算法的有趣問題，敬請期待。

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