有人证明出π=4，这是什么鬼？

原标题:有人证明出π=4，这是什么鬼？

在数学领域，π可能是最招人喜欢的一个数。有人玩命地背诵它的小数部分；有人用它写歌；有人把它设为纪念日；有人没事就拿它造谣。比如说网上经常能看见“π=4”的神奇证明，就常常让人不明觉厉。

这个证明的漏洞在哪里呢？其实方形的边无论切分成多少个阶梯，都不可能和圆弧完全重合，而这些直角的边其实都能还原为之前的方形。

图 | TheOdd1sOut

大家或许会好奇，π 究竟哪点吸引人了，能够让大家对它痴迷到如此地步？

其实，π 本身的存在就是一个奇迹：不管一个圆有多大，它的周长和直径之比总是一个固定的数，它就是 3.141592653589793 … ，是一个无限不循环小数。我们把这个数叫做圆周率，用希腊字母 π 来表示。在几何问题中，圆周率扮演着非常重要的角色；然而更神奇的是，它也驰骋于几何以外的其它数学领域。

>> 布丰投针实验

在地板上画一系列间距为 2 厘米的平行线，然后把一根长度为 1 厘米的针扔在地板上。那么，这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢？1733 年，法国博物学家布丰（Comte de Buffon）第一次提出了这个问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题——这个概率值是 1/π 。

这个问题可以用微积分直接求解，也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案，结论依然相当令人吃惊——在这个概率问题上，竟然也有 π 的踪影。有人甚至利用投针法，求出过 π 的近似值来。

>> 两个整数互质的概率

如果两个整数的最大公约数为 1，我们就说这两个数是互质的。例如，9 和 14 就是互质的，除了 1 以外它们没有其它的公共约数；9 和 15 就不互质，因为它们有公共的约数 3。可以证明这样一个令人吃惊的结论：任取两个整数，它们互质的概率是 6 / π 2。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率，无疑给小小的希腊字母 π 更添加了几分神秘。

>> 斯特林近似公式

我们把从 1 开始一直连乘到 n 的结果称作“n 的阶乘”，在数学中用 n! 来表示。也就是说：

1733 年，数学家亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）发现，当 n 很大的时候，有：

其中 c 是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值。几年后，数学家詹姆斯·斯特林（James Stirling）指出，这个常数 c 等于 2π 的平方根。也就是说：

这个公式就被称作斯特林近似公式。

>> 欧拉恒等式

这是整个数学领域中最伟大，最神奇的公式：

这个公式用加法、乘法、乘方这三个最基础的运算，把数学中最神奇的三个常数（圆周率 π、自然底数 e、虚数单位 i）以及最根本的两个数（0 和 1）联系在了一起，没有任何杂质，没有任何冗余，漂亮到了令人敬畏的地步。这个等式也是由大数学家欧拉发现的，它就是传说中的欧拉恒等式（Euler's identity）。《数学情报》杂志（The Mathematical Intelligencer）曾举办过一次读者投票活动，欧拉恒等式被评选为“史上最美的公式”。

然而，这些也都只是数学这个奇妙大世界的其中一角罢了。

撰文：matrix67

编辑：大琳砸

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