引言： 线性代数是数据科学的基础知识之一， 3Blue1Brown 也是非常有名的数学讲解频道。去年TDU的谢洛克在学习过 3Blue1Brown 线性代数的视频后，写下了备受欢迎的两篇学习笔记，再次分享给大家，同时也推荐有线性代数学习需求的伙伴们去看这一系列的视频。

多年以后，当谢洛克站在菲尔兹奖的领奖台上，一定会想起她看到 3Blue1Brown 视频的那个晚上。

3Blue1Brown 的 Essence of linear algebra 系列视频（链接见文末）是我迄今见过最棒的线性代数视频。

Grant Sanderson（3Blue1Brown 创办者）一反教科书上抽象、枯燥的公式教学，引导观众进入奇妙的“线性代数几何化世界”，用人话讲就是把线性代数可视化了。再加上感人的时长(一共13集，每集仅10分钟左右)、可爱的动画，简直让人爱不释手。

在视频底下的评论也不乏 “万万没想到，从不热爱学习的我竟然被这个数学视频深深吸引了”、“难以置信我竟然心甘情愿为数学熬夜”、“天呐为什么我研究生毕业才看到这个视频，当初我学线代吃了多少苦啊”、“教科书为什么不能跟这看齐”的赞誉之词，可见这系列视频的质量和在群众中的口碑。

好了言归正传。在如饥似渴的学习中我也做了一些学习笔记，在此共享给大家。

简便起见，下面仅讨论二维空间中的情况(更高维的也同理，只需动动你聪明的小脑瓜)，所提及的矩阵也仅限于方阵。

• 向量

向量大家都懂的，请想象一个在坐标轴中有方向、有长度的箭头。

• 基向量

向量最本质的两个运算就是数乘( scaling)和加法(additive)。

牢记加法和数乘，你就可以在线性代数的世界里所向披靡。

让我们来看图。  是基向量，二维空间中所有的向量都可以由它们俩的组合来表示(选择 为 , 为 是由于它们简洁直观，你也可以选择其他向量作为你的基向量，只要它们不共线就行)。怎么组合？比如 这个向量其实就是 向量反向1倍， 向量伸长2倍，然后相加。基向量的伸长和缩短，就是所谓的数乘，而后的相加就是加法。

• 线性变化

看到这个，你是不是条件反射式地开始回忆课本上的计算公式，什么捉对相乘再相加之类的。不要这样做。让我们把这些数字放到几何学中，轻松地得出结果。

首先，右边是个向量。如果有个坐标轴，你可以想象出它是从原点出发，箭头在5 7位置的向量。用基向量表示就是 。

左边是个矩阵，矩阵有什么几何意义呢？矩阵的几何意义是线性变换。所谓线性变换，就是坐标轴的旋转、伸缩。下图就是一个线性变换。你可以看到，坐标轴从你熟悉的横平竖直（白格子）变成了斜斜的、长度也有所伸长的新坐标轴（蓝格子）。原来的 变成了橙箭头 ，原来的 变成了绿箭头 。用矩阵表示就是 。

OK，之后你再见到方阵，你就知道这是一个线性变换，变换后的基向量分别是矩阵的两个列。

所以上面的计算其实是在问，在横平竖直的坐标轴里的向量 ，随着坐标轴经历了 线性变换后，成了一个新的向量，这个向量是什么？

很好回答。因为线性变换保持网格平行且等距，所以这个向量以前是 ，

那么变换后依然如此，只不过 换新了。按照下图这样计算就可以了。所以说，万变不离其宗，矩阵乘向量的计算依然是向量运算的本质——数乘和加法（先和基向量数乘，然后相加，即是结果）。

到了这里，你已经掌握了几乎所有的核心要点。

• 矩阵乘法

你已经理解矩阵乘向量可以看作向量在线性变化后的新位置，那么矩阵乘以矩阵从几何学角度怎么理解呢？抛弃你头脑中那些背下来的公式，回忆一下上一部分的内容。我们把一个矩阵看作线性变换，第一列是 向量，第二列是 向量。那么其实一个矩阵就是两个向量。于是很自然的，这个矩阵左乘一个矩阵，就是对这两个向量分别求新位置。问题又回到了上部分的内容。

• 行列式

行列式的几何意义是面积变化。在下图中，经历了线性变换后，白网格变成了蓝网格，蓝网格面积除以白网格面积即行列式的值。

在知道变换后基向量的情况下易得这个面积，不过你也可以记忆一个公式，对线性变换 而言，它的行列式就是 ad-bc。

在这一篇中你将了解点乘、你和谢广坤之间的故事以及特征向量特征值。

• 点乘

让我们来看下点乘的计算方式。

又是捉对相乘再相加，是不是很熟悉？是不是跟矩阵乘以向量是一样一样的。

因此把左边向量看成一个一乘三矩阵，也是完全可以的嘛。但有些同学会说，上一篇只探讨到方阵，突然出现的一乘三的非方阵是怎么回事？

好的，到了这里我们就要稍微升级一下我们的知识了。让我们来看看非方阵的几何意义。

正如我们之前所说，矩阵可看成线性变化。想象一个二乘二方阵，它的第一列是我们再熟悉不过的，第二列是。再想象一个一乘二非方阵，如果我们依然认为第一列 是 ，第二列是，这代表着什么？为什么和只剩下一个数字了？在什么情况下才会发生这种事？在一维空间。但你熟悉的，还在，所以不用害怕维度降低了，你的计算方法依然不变。

上图右边的向量表示，在原先的坐标轴中，该向量是由4个，3个相加而成，那么现在把新的，再代入即可得出答案。

好的。在计算上，你完全能够理解向量与向量的点乘等价于矩阵与向量的乘法。那向量的点乘有什么几何意义呢？

想必你知道这个公式：

它表示 向量点乘的几何意义是a向量的模（向量的长度，即|a|）乘以b向量的模在a向量方向上的投影（向量的投影，即|b|cosθ） ，替换a，b的位置这个句子也成立。那为啥点乘的几何意义是这样的？

除了上边你已经了解的——点乘跟矩阵乘向量是一样一样的，你只需再了解一个知识点就可融会贯通。那就是 。

我们引入一个一维数轴，该数轴与 同向，在这个数轴上有个单位向量 ，它的长度是1。

当从二维空间的视角看时， 是 ，坐标为(Ux，Uy)。从一维空间看，它的坐标是1。现在我对二维空间做线性变换，变到 所在的这条数轴上。来，告诉我，线性变换矩阵是什么？很好算吧，就是原向量在数轴上的投影，和原向量的投影。根据对称性，我们惊喜地发现竟然是矩阵[Ux Uy]！

也就是说！ 矩阵[Ux Uy]这个线性变换就是把空间变换到了向量 所在的一维数轴上 。所以对于中的，它在变换后的位置，就是它在所在的这条数轴上的投影（|b|cosθ）。

让我们来总结一下。

1）从计算方式上，点乘等价于矩阵乘以向量

2）矩阵表示的线性变换，是将空间变换到向量所在的一维数轴上——[UxUy]表示的线性变换，是把空间降到了向量 所在的一维数轴上

3）矩阵乘以向量表示向量经线性变换后的新位置，也就是向量在数轴上的投影—— 的新位置即为

4） 与 在同一条数轴上，它们之间是倍数关系，可表示为 。所以

大功告成。

• 基向量变换

一直以来我们都用 和 这对基向量，但你的朋友谢广坤说我偏要用

、 这对基向量。虽然你觉得广坤很任性，但他这样其实完全没有毛病。

当你说的向量 不再是广坤的 ，广坤的 不再是你的 时，你们的友谊几乎走到了尽头。为了维护与广坤的友谊，你需要做基向量变换，也就是把广坤的表述的翻译过来，并且把你的翻译过去，这样你们才能继续交流。

让我们先翻译一下广坤。

这一天广坤说“我瞅着 这个向量充满了灵气。”显然，这不是你的坐标系中的 ，你迫切地想知道广坤说的究竟是哪个。怎么办？

用跟之前一模一样的算法。你已经知道广坤喜欢的向量是 ，也就是-1*广坤的，2*广坤的，那,广坤也早就告诉你了，是 、 ，所以代入就能知道广坤说的究竟是哪个向量了。

你经过计算得知广坤说的是 ，对此你不置可否，并且认为 这个向量更胜一筹，于是你又需要把这个向量翻译给广坤。此前我们用广坤的向量左乘了线性变换矩阵，现在我们只需用我们的向量乘以线性变换矩阵的逆(逆矩阵的算法就请直接用计算机吧)。

现在你和广坤能够顺畅地交流向量了！

• 特征向量和特征值

特征向量就是在线性变换中方向保持不变的那些向量。特征值就是特征向量在变化后伸缩的程度。

如上图，经过 的线性变换，粉线和绿线上的向量依然在原来的线上，它们就是特征向量。

特征值向量可能有无数个(比如空间只是拉伸了一下)，也有可能没有(比如九十度旋转)。

简单的笔记就到此结束了，视频中的更多精彩内容，比如叉积的几何意义、你和广坤如何交流线性变换、特征向量转化为基向量等等并未展开。亲自去看一看视频吧！你绝不会失望的！

3Blue1Brown--Essence of linear algebra 系列视频

https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

封面图来自 3Blue1Brown