问题探究

去伪存真

【题目】

（2018•江西）小资与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线y=﹣x²+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．

（2）已知抛物线y=﹣x²﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．

问题解决：

（1）已知抛物线y=ax²+2ax﹣b（a≠0）

①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx²﹣2bx+a²（b≠0），两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线y关于点（0，k+1²）的衍生抛物线为y1；其顶点为A1；关于点（0，k+2²）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n²）的衍生抛物线为yn；其顶点为An…（n为正整数）求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．

【答案】

解：求解体验：（1）∵抛物线y=﹣x²+bx﹣3经过点（﹣1，0），

∴﹣1﹣b﹣3=0，

∴b=﹣4，

∴抛物线解析式为y=﹣x²﹣4x﹣3=﹣（x+2）²+1，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），

∴抛物线的顶点坐标（﹣2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），

即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），

令原抛物线的x=0，

∴y=﹣3，

∴（0，﹣3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），

设新抛物线的解析式为y=a（x﹣2）²+1，

∵点（0，5）在新抛物线上，

∴5=a（0﹣2）²+1，

∴a=1，

∴新抛物线解析式为y=（x﹣2）²+1=x²﹣4x+5，

故答案为﹣4，（﹣2，1），y=x²﹣4x+5；

备注：待定系数法求解析式，并得出顶点坐标等。

确定抛物线只需要确定不共线的三点坐标即可，利用中心对称的性质得到对应的点坐标即可。

抽象感悟：（2）∵抛物线y=﹣x²﹣2x+5=﹣（x+1）²+6①，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），

抛物线上取点（0，5），

∴点（﹣1，6）和（0，5）关于点（0，m）的对称点为（1，2m﹣6）和（0，2m﹣5），

设衍生抛物线为y′=a（x﹣1）²+2m﹣6，∴2m﹣5=a+2m﹣6，

∴a=1，

∴衍生抛物线为y′=（x﹣1）²+2m﹣6=x²﹣2x+2m﹣5②，

联立①②得，x²﹣2x+2m﹣5=﹣x²﹣2x+5，

整理得，2x²=10﹣2m，

∵这两条抛物线有交点，

∴10﹣2m≥0，

∴m≤5；

备注：有交点的问题则联系解析式转化为求一元二次方程的解的问题。

问题解决：

（1）①抛物线y=ax²+2ax﹣b=a（x+1）2﹣a﹣b，

∴此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），

∵抛物线y的衍生抛物线为y′=bx²﹣2bx+a²=b（x﹣1）²+a²﹣b，

∴此函数的顶点坐标为（1，a²﹣b），

∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，

∴b+2b+a²=-a-b，a+2a-b=a²-b，

∴a=0（舍）或a=3，

∴b=﹣3，

∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12），

∴衍生中心的坐标为（0，6）；

备注：经过点或点在曲线上，代入解析式即可。

②抛物线y=ax²+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），

∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（0，k+n²）的对称点为（1，a+b+k+n²），

∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+k+n²），

同理：An+1（1，a+b+k+（n+1）²）

∴AnAn+1=a+b+k+（n+1）²﹣（a+b+k+n²）=2n+1．

备注：本题的关键就是问题求对称的顶点坐标，而非解析式，因此抓住这个关键信息即可。