摘要：（2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长。（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG。

转化思想

【题目】

（2018•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=1/2x²+3/2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．

（1）求直线l的解析式；

（2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；

（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

解：（1）∵抛物线y=1/2x²+3/2x﹣2，

∴当y＝0时，得x1＝1，x2＝﹣4，当x＝0时，y＝﹣2，

∵抛物线y=1/2x²+3/2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），

∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y＝kx+b，

-4k+b=0，b=-2，得k=-1/2，b=-2，

即直线l的函数解析式为y=-1/2 x-2；

备注：令x或y等于0，得到A，B，C的坐标，再用待定系数法表示出抛物线的解析式即可。

（2）直线ED与x轴交于点F，如右图1所示，

由（1）可得，

AO＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，

∴AC＝2√5，

∴OD=(4×2)/(2√5)=(4√5)/5，

∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD＝∠CAO，

∴△AOD∽△ACO，

∴AD/AO=AO/AC，

即AD/4=4/(2√5)，得AD=(8√5)/5，

∵EF⊥x轴，∠ADC＝90°，

∴EF∥OC，

∴△ADF∽△ACO，

∴AF/AO=DF/OC=AD/AC，

解得，AF=16/5，DF=8/5，

∴OF＝4-16/5=4/5，

∴m=-4/5，

当m=-4/5时，y=1/2×（-4/5）²+3/2×（-4/5）﹣2=-72/25，

∴EF=72/25，

∴DE＝EF﹣FD=72/25-8/5=32/25；

备注：垂直易得相似，根据相似易得线段长度与坐标，最终得到点D和E的坐标即可求出长度。

（3）存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，

理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如右图2所示，

∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），

∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，

∴tan∠OAC=OC/OA=2/4=1/2，tan∠OCB=OB/OC=1/2，AC＝2√5，

∴∠OAC＝∠OCB，

∵∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，∠GAM＝∠OAC﹣∠BAG，

∴∠BAP＝∠GAM，

∵点G（0，﹣1），AC＝2√5，OA＝4，

∴OG＝1，GC＝1，

∴AG=√17，(AC⋅GM)/2=(CG⋅OA)/2，即(2√5⋅GM)/2=(1×4)/2，

解得，GM=(2√5)/5，

∴AM=√(AG²-GM² )=√((√17 )²-((2√5)/5 )² )=(9√5)/5，

∴tan∠GAM=GM/AM=((2√5)/5)/((9√5)/5)=2/9，

∴tan∠PAN=2/9，

设点P的坐标为（n，1/2n²+3/2n﹣2），

∴AN＝4+n，PN=1/2n²+3/2n﹣2，

∴(1/2 n²+3/2 n-2)/(n+4)=2/9，

解得，n1=13/9，n2＝﹣4（舍去），

当n=13/9时，1/2n²+3/2n﹣2=98/81，

∴点P的坐标为（13/9，98/81），

即存在点P（13/9，98/81），使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG．

备注：本题的直觉就是△ABC为直角三角形，与点O构成三垂直，易得∠BCO=∠CAO，实现角度转化。再根据角相等构造垂直即可得到相似三角形，建立等量关系即可。