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在介紹玻愛爭論之前，我們曾經介紹過，他是統計力學大師，最後因抑鬱症而自殺。波爾茲曼研究的是經典粒子的統計行爲，那麼，量子力學中粒子的統計行爲又是怎麼樣的？爲何與經典粒子統計規律不同呢？這段歷史將再次讓我們的目光返回到舊量子論的年代。

圖13-1：玻色和費米

現代物理學觀點認爲量子統計的規律有兩種：玻色-愛因斯坦統計和費米-狄拉克統計。這四位物理學家中的愛因斯坦是人人皆知的大神，費米和狄拉克也都在諾貝爾獎榜上有名，可這個玻色是誰呢？此外，本系列文中尚未介紹費米，因此，本篇我們就介紹一下玻色和費米兩位學者。

一個概率問題

玻色的確不是那麼有名，印度人，屬於第三世界的物理學家，固然受很多條件所限。不過，由他而命名的玻色子在物理學界還是挺有名的。對玻色子統計規律的研究是玻色一生中唯一一項重要的成果。

有趣的是，玻色是因爲一個“錯誤”而發現玻色子統計規律的。1921年左右，在一次有關光電效應的講課中，玻色犯了一個類似“擲兩枚硬幣，得到兩次正面 （即‘正正’） 的 概率爲三分之一”的錯誤。 沒想到，這個錯誤卻得出了與實驗相符合的結論，也就是不可區分的全同粒子所遵循的一種統計規律。

什麼叫“擲兩枚硬幣，‘正正’概率爲三分之一”的錯誤？另外，什麼叫“不可區分的全同粒子”？兩個粒子可區分或不可區分，會影響概率的計算嗎？

我們看看在現實生活中如何計算概率。如果我們擲兩枚硬幣，因爲每個硬幣都有不同的正反兩面，所有可能的實驗結果就有四種情況：正正、正反、反正、反反。如果我們假設每種情形發生的幾率都一樣，那麼，得到每種情況的可能性皆是四分之一。

現在，想象我們的兩枚硬幣變成了某種“不可區分”的兩個粒子，姑且稱它們爲“量子硬幣”吧。這種不可區分的東西完全一模一樣，而且不可區分。既然不可區分，‘正反’和‘反正’就是完全一樣的，所以，當觀察兩個這類粒子的狀態時，所有可能發生的情形就只有“正正”“反反”“正反”三種情形。

圖13-2：“可區分”和“不可區分”粒子的統計規律不一樣

這時，如果我們仍然假設三種可能性中每種情形發生的幾率是一樣的（儘管這好像不太符合我們對於實際“硬幣”的日常經驗，但不要忘記，我們考慮的是某種抽象的“量子硬幣”），我們便會得出“每種情況的可能性都是三分之一”的結論。這個例子就說明了，多個“一模一樣、無法區分”的物體，與多個“可以區分”的物體，所遵循的統計規律是不一樣的。

玻色的錯誤

納特·玻色（Nath Bose，1894 - 1974）出生於印度加爾各答，他的父親是一名鐵路工程師，他是七名孩子中的長子。玻色在大學時得到幾位優秀教師的讚賞和指點，但他只得了一個數學碩士，並未繼續攻讀博士學位，就直接在加爾各答物理系擔任講師職務，後來又到達卡大學物理系任講師，並自學物理。

圖13-3：玻色（後排左2）和加爾各答大學的科學家們

大約1922年，玻色講課時講到光電效應和黑體輻射時的紫外災難，他打算向學生展示理論預測的結果與實驗的不合之處。那時候，新量子論（量子力學）尚未誕生，已經使用了二十多年的舊量子論，不過是在經典物理的框架下，做點量子化的修補工作。至於粒子的統計行爲，需要應用統計規律時，仍然是波爾茲曼的經典統計理論。物理學家們的腦袋中，絕對沒有所謂粒子“可區分或不可區分”的概念。每一個經典的粒子都是有軌道可以精確跟蹤的，這就意味着，所有經典粒子都可以互相區分！

玻色也是一樣，他想對學生講清楚黑體輻射理論與實驗不一致的問題。於是，他運用經典統計來推導理論公式，但是，他在推導過程中，犯了我們在上面所述的那種“錯誤”，簡單而言，就是將丟兩枚硬幣時出現“正正”的概率，誤認爲是三分之一。但是，萬萬沒想到這個偶然的錯誤卻得出了與實驗相符合的結論。

爲什麼數學錯誤反而得到正確物理結論？此事蹊蹺。聰明的玻色立刻意識到，這也許是一個“沒錯的錯誤！”他繼續深入鑽研下去，研究概率1/3區別於概率1/4之本質，進而寫出了一篇《普朗克定律與光量子假說》的論文。文中，玻色首次提出經典的麥克斯韋-波爾茲曼統計規律不適合於微觀粒子的觀點。他認爲是因爲海森堡不相容原理導致變動構成的影響，使得需要一種全新的統計方法。

然而，沒有雜誌願意發表這篇論文，因爲他們都認爲玻色犯了當時統計學家看來十分低級的錯誤。

後來的1924年，玻色突發奇想，直接將文章寄給大名鼎鼎的愛因斯坦，不料立刻得到了愛因斯坦的支持。玻色的“錯誤”之所以能得出正確結果，因爲光子正是一種不可區分的、後來被統稱爲“玻色子”的東西。對此，愛因斯坦心中早有一些模糊的想法，如今玻色的計算正好與這些想法不謀而合。愛因斯坦將這篇論文翻譯成德文，並安排將它發表在《德國物理學期刊》。

玻色的發現是如此重要，以至於愛因斯坦寫的一系列論文，稱它爲“玻色統計”。因爲愛因斯坦的貢獻，如今，它被稱爲“玻色-愛因斯坦統計”。之後又有了超低溫下得到“玻色-愛因斯坦凝聚”的理論。

這可以說是一個諾獎級別的工作，但遺憾的是玻色本人像一顆劃過天空，閃亮一時又轉瞬即逝的彗星一樣，之後在科學上沒有大作爲，最終與諾獎無緣，1974年於80歲高齡死於加爾各答。

全同粒子

玻色的“錯誤”能得出正確結果，正是因爲光子是不可區分的。這種互相不可區分的、一模一樣的粒子在量子力學中叫做“全同粒子”。

所謂全同粒子，就是質量、電荷、自旋等內在性質完全相同的粒子。在宏觀世界中，可能不存在完全一模一樣的東西，即使看起來一模一樣，它們也是可以被區分的。因爲根據經典力學，即使兩個粒子全同，它們運動的軌道也不會相同。因此，我們可以追蹤它們不同的軌道，進而區分它們。但是，在符合量子力學規律的微觀世界裏，粒子遵循不確定性原理，沒有固定的軌道，因而無法將它們區分開來。量子力學中，有兩種類型的全同粒子：玻色子和費米子，分別以玻色和費米兩位物理學家命名，它們分別服從兩種不同的量子統計規律。

光子就是玻色子。不可區分的全同粒子算起概率來的確與經典統計方法不一樣。如圖13-2a所示，對兩個經典粒子而言，出現兩個正面（HH）的概率是1/4，而對光子這樣的玻色子而言，出現兩個正面（HH）的概率是1/3（圖13-2b）。

那麼，費米子又是如何定義的呢？

在圖13-2c中，我們圖示了玻色子和費米子的區別。費米子也是全同粒子，它是符合泡利不相容原理（兩個電子不能處於同樣的狀態）的全同粒子，比如電子。我們仍然以兩個硬幣爲例，可以說明費米子的統計規律有何特別之處。

假設兩個硬幣現在變成了“費米子硬幣”，對兩個費米子來說，因爲它們不可能處於完全相同的狀態，所以，四種可能情形中的HH和TT狀態都不成立了，只留下唯一的可能性：HT。因此，對兩個費米子系統，出現HT的概率是1，出現其它狀態的概率是0。

費米的貢獻

研究費米子統計規律的功勞，要歸於美籍的意大利裔物理學家恩利克·費米（Enrico Fermi，1901-1954）。

圖13-4：費米和位於美國伊利諾伊州的費米國家實驗室

以費米名字命名的物理對象很多：費米子、費米麪、費米-狄拉克方程、費米-狄拉克統計、費米悖論……甚至還有100號化學元素“鐨”。當然，還有大名鼎鼎的美國芝加哥費米實驗室、芝加哥大學的費米研究院等等。但瞭解費米其人的大衆卻不多，這是因爲費米一生處事低調，淡泊名利。

費米主要成就包括首創β衰變的定量理論，設計並建造了世界上第一臺可控核反應堆等等。費米是1938年諾貝爾物理學獎獲得者，他對理論物理和實驗物理均做出了重大貢獻，因而被稱爲現代物理學的最後一位通才。

費米作爲家中最小的孩子，童年的他身材瘦小、不愛說話，看上去缺乏想象力，甚至不夠聰明。但這似乎又一次印證了中國的那句老話：大智若愚。看看費米一生的成就、在物理學上的造詣就明白了。

10歲的費米就能獨立理解表示圓的公式X 2 +Y 2 =R 2 ，他很小就熟練地掌握了意大利語、拉丁語和希臘語；18歲時，他因爲一篇《聲音的特性》的論文引起了物理學權威們的關注；1929年，未滿30歲的費米成爲意大利最年輕的科學院院士。

作爲院士的費米知名度提升，但他爲人仍然十分低調。據說有一次，費米和妻子一起到一家旅館，老闆問他是不是費米院士“閣下”，費米隨口回答說自己是那個費米院士的遠房親戚。

也沒有人質疑費米在30歲就成爲意大利科學院院士是否太年輕，因爲他在25歲時就發現了我們前面介紹的費米子遵循的量子統計。1926年，費米和狄拉克各自獨立地發表了有關這一統計規律的兩篇學術論文。兩位科學家都很低調謙虛，狄拉克稱此項研究是費米完成的，他將其稱爲“費米統計”，並將對應的粒子稱爲“費米子”。

不同微觀粒子的全同性統計行爲有所不同，而這種不同則來源於它們的自旋，以及自旋所導致的不同的對稱性。玻色子是自旋爲整數的粒子，比如光子的自旋爲1。兩個玻色子的波函數是交換對稱的，當兩個玻色子的角色互相交換後，總的波函數不變；而費米子的自旋則是半整數的，比如電子的自旋是二分之一。由兩個費米子構成的系統的波函數是交換反對稱的，即當兩個費米子的角色互相交換後，系統總的波函數只改變符號。（見圖13-5中的右邊二圖）

反對稱的波函數與泡利不相容原理有關，所有費米子都遵循這一原理。因而，原子中的任意兩個電子不能處在相同的量子態上，而是在原子中分層排列（見圖13-5中的左邊二圖）。在這個基礎上，纔得到了有劃時代意義的元素週期律。

圖13-5：玻色子和費米子的不同特性源於不同的自旋波函數

因爲玻色子喜歡大家同居一室，大家都拼命擠到能量最低的狀態。比如，光子就是一種玻色子，許多光子可以處於相同的能級，所以我們才能得到激光這種超強度的光束。那麼，原子呢？原子是複合粒子，情況要複雜一點。對複合粒子來說，如果由奇數個費米子構成，則這個複合粒子爲費米子；由偶數個費米子構成，則爲玻色子。如果將玻色子的原子，在一定的條件下，溫度降低到接近絕對零度，所有玻色子會突然“凝聚”在一起，那時會產生一些常態的物質中觀察不到的“超流體”的有趣性質，這被稱爲“玻色-愛因斯坦凝聚”。通過對“玻色-愛因斯坦凝聚”的深入研究，有可能實現“原子激光”之類的、前景誘人的新突破。

因此，全同粒子的玻色子或費米子行爲，是量子力學最神祕的側面之一。

正好在費米獲得諾貝爾獎的那一年，意大利的墨索里尼（Benito Amilcare Andrea Mussolini，1883 -1945）開始逮捕和迫害猶太人。因爲費米的夫人是猶太人，所以費米便利用到瑞典領獎的機會，舉家逃到了美國，並在哥倫比亞大學任教。

1941年底，在愛因斯坦等人的提議下，美國政府決定啓動名爲“曼哈頓”的原子彈研製計劃，費米成爲主要的參與者之一。他指揮建造了世界上第一座“人工核反應堆”，並將它祕密轉移到新墨西哥州洛斯阿拉莫斯峽谷附近，最終在1945年的7月12日製成了世界上第一顆原子彈。四天後，這顆原子彈被成功引爆。

科研生涯的最後幾年，費米還從事高能物理的研究。天妒英才，正值事業巔峯期的費米在食道癌和胃癌的雙重打擊下，於1954年11月28日逝世於芝加哥的家中，時年53歲。

往期量子羣英傳：

本文經授權轉自《賽先生》微信公衆號

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