簡介：什麼是概率？

用數學術語概率來描述事件發生的可能性。例如，概率告訴我們是否在特定的一天下雨或有人贏彩票的機會。

事件發生的概率總是介於0和1之間，其中1表示絕對確定性，0表示完全不可能。

概率可以基本上以兩種方式確定 -

1）理論上，2）經驗。

理論（也稱爲經典）方法專門用於確定彩票，擲硬幣等機會遊戲的概率。

雖然經驗（也稱爲觀測）方法用於確定結果不能預先確定（事先決定）的事件的概率。

爲了從數學上描述概率，我們需要下面討論的幾個基本要素：

樣本空間

它是隨機實驗所有可能結果的集合。

例如，在六面擲骰實驗中，樣本空間S = {1,2,3,4,5,6}。

活動空間

它是一個元素（事件）是樣本空間子集的集合。

例如，A = {1,2}是樣本空間S的事件空間。這裏A表示骰子投擲導致1或2的事件。

概率測度

概率測度P是衡量特定事件發生的可能性的函數。

例如，事件A發生在擲骰結果爲1或2時，即6個可能中的2個。因此，A的概率測度P（A）= 2/6 = 1/3。

多變量的概率

聯合概率

它用於同時表示多個變量的概率。

例如，假設我們關心一個人的兩件事情 - 他們的性別，男性或女性，以及他們的頭髮長度或長或短。 P (male, short) 是一個人是男性，有短髮的概率。

條件概率

它表示事件已經發生的事件的概率。

例如，將長頭髮的男性的概率設爲P (male | long hair)。請注意，這與 P (long hair | male)不同，因爲男性是長髮的可能性。

邊際概率

當我們發現某個事件發生的概率與任何其他事件無關時，則稱爲邊際概率。

例如，男性的概率由P (male)給出。這個人是否有短髮或長頭髮並不重要。

聯合，條件和邊際概率之間的關係

聯合，條件和邊際概率滿足以下關係：

P（A，B）= P（B / A）P（A）

也就是說，A和B的概率與B給定A的概率A的概率相同。例如，

P(male,long hair)=P(long hair|male) P(male)

也就是說，一個人是男性，長髮的概率=男性是男性的概率，長髮的概率是男性。

貝葉斯定理

它是兩個變量的條件概率和邊際概率之間的關係。它給出如下：

貝葉斯定理的例子

爲了理解貝葉斯定理的概念，我們來舉個例子。

假設一個人會擲骰子，告訴我們結果。然而，這個人只說了三次真話。因爲他很喜歡數字6，如果骰子的結果是6，他會隨機選擇數字來說謊，但是當骰子結果不是6時，他總是說它是6。他擲骰子，報告他得到的數字是6。我們沒有看到骰子，但我們想知道結果實際上是6的概率。

爲了解決這個問題，讓我們考慮一下擲骰子的結果，結果是6，讓B成爲那個人報告6的事件。我們想計算P(A|B)

我們知道,

P(A) = 1/6，即6發生的概率是1/6，因爲它是6次可能輸出中的1次。

P(B|A) = 2/3，即人報告6時的概率是2/3，因爲他講了3次的真相2次。

P（B），這個人報告6的概率，稍微複雜一點。我們需要考慮這個人在每一種情況下會做什麼，取決於擲骰子的結果實際上是一個6還是不，然後把它加起來。

人報告6的概率是6,P(B|A) = 2/3。我們知道P(A) = 1/6。

這個人報告的概率是6，而不是P(B|A ') = 1/3。同時,P(A)= 5/6。

因此，P(B) = 1/6*2/3 + 5/6*1/3。

現在，我們可以用貝葉斯定理:

當它實際上是六時，人報告六的概率，P（B | A）= 2/3。我們知道P（A）= 1/6。

當不是P（B | A'）= 1/3時，該男子報告六的概率。另外，P（A'）= 5/6。

因此，P（B）= 1/6 * 2/3 + 5/6 * 1/3。

現在，我們可以使用貝葉斯定理：

概率分佈和隨機變量。

可以隨機取不同值的變量稱爲隨機變量。

如果這些變量在本質上是離散的，它們就稱爲離散隨機變量。

例如，在拋硬幣的過程中可能出現的頭數(假設拋硬幣15次)是一個離散的隨機變量。這個數字可以在0到15的範圍內取整數值。

同樣地，如果變量在性質上是連續的，那麼它就稱爲連續隨機變量。

例如，放射性粒子衰變的時間是一個連續的隨機變量，因爲它可以取無數可能的值，而這些值是不能預先確定的。

正如我們前面討論的，隨機變量可以隨機取不同的值。但它所取的所有值都是相等的，也可能是相等的，還是更有可能是隨機變量比其他變量更常取某一特定值?

爲了解決這種情況，我們試着用一個概率分佈來理解這個問題，這個概率分佈描述了一個隨機變量在每個可能的值上的可能性。

概率質量函數

如果隨機變量在性質上是離散的，我們用概率質量函數來描述它的概率分佈。

例子:

下面給出的圖是一個由兩個同時進行的六面擲骰子實驗組成的圖。它捕獲了在x軸兩個骰子中出現的數字和在y軸上出現和的概率的結果。例如，得到2的概率是1/36。

預期或預期價值

隨機變量（x）的期望值（E）是從其概率分佈P（x）採樣時的隨機值的平均值。

在數學上，它表示爲：

對於離散隨機變量

對於連續的隨機變量

常見概率分佈和隨機變量

它分爲兩個，

1）離散概率分佈/隨機變量2）連續概率分佈/隨機變量

伯努利

當試驗成功或失敗時，使用伯努利隨機變量，成功表示爲1，失敗爲0.如果P是成功概率，則伯努利變量x的概率質量函數爲：

伯努利

二項式

當我們要重新計算n個獨立時間的實驗時，我們需要計算多少成功。二項式變量x的概率質量函數，其中p是成功概率，給出如下：

泊松：

泊松變量x用於計算單位時間事件的發生次數，使得事件獨立並且很少同時發生。對於平均出現次數λ，概率質量函數如下給出：

連續概率分佈/隨機變量

Uniform

當區間（從a開始到b結束）之間的每個值的概率密度相等時，我們使用均勻隨機變量x。x的概率密度函數給出如下：

指數

指數變量x用於我們測量直到首次發生事件時的時間，以便在不相交的時間間隔內發生的事件是獨立的，很少同時發生。對於每單位時間a的平均出現次數，概率密度函數如下給出：

Normal

正態隨機變量x適用於不同的情況。我們可以用它來模擬物理測量，如重量，高度等。我們也可以用它來模擬測量儀器所產生的誤差。一般來說，當被測量的數量的平均值和方差已知時，可以使用它。概率密度函數給出如下：