摘要：（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），。②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），。

面积问题还是最流行的问题

【题目】

（2018•聊城）如图，已知抛物线y=ax²+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当t=0时，求S△OBN的值；

（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时S有最大值，最大值是多少？

【答案】

解：（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax²+bx，

25a+5b=5，100a+10b=0，解得：a=-1/5，b=2，

∴抛物线的表达式为y=﹣1/5x²+2x．

备注：待定系数法。

（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，9/5），

∴BN=9/5，OB=1，

∴S△OBN=1/2BN•OB=9/10．

备注：OB在x轴上，所以底乘高即可求，B与N的横坐标相等，易得点N的坐标。

（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），

点B的坐标为（t+1，0），

∴点M的坐标为（t，﹣1/5t²+2t），

点N的坐标为（t+1，﹣1/5（t+1）²+2（t+1）），

∴AM=﹣1/5t²+2t，

BN=﹣1/5（t+1）²+2（t+1），

∴S=1/2（AM+BN）•AB

=1/2×1×[﹣1/5t²+2t﹣1/5（t+1）²+2（t+1）]

=﹣1/5t²+9/5t+9/10

=﹣1/5（t﹣9/2）²+99/20

∵﹣1/5＜0，

∴当t=4时，S取最大值，最大值为49/10；

②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），

点B的坐标为（t+1，0），

∴点M的坐标为（t，﹣1/5t²+2t），

点N的坐标为（t+1，﹣1/5（t+1）²+2（t+1）），

∴AM=﹣1/5t²+2t，

BN=﹣1/5（t+1）²+2（t+1），

∴S=1/2（5﹣t）（﹣1/5t²+2t+5）+1/2（t﹣4）[5﹣1/5（t+1）²+2（t+1）]

=1/2（1/5t3﹣3t²+5t+25）+1/2（﹣1/5t3+12/5t²+2/5t﹣136/5）

=﹣3/10t²+27/10t﹣11/10

=﹣3/10（t﹣9/2）²+199/40

∵﹣3/10＜0，

∴当t=9/2时，S取最大值，最大值为199/40．

∵49/10=196/40＜199/40，

∴当t=9/2时，S有最大值，最大值是199/40．

备注：本题分为两种情况讨论，分别为M和N位于对称轴的同侧或异侧。

同侧时求梯形的面积，利用公式即可，异侧时分割为两个梯形。

题目思路不复杂，但是第二种情况运算稍稍复杂，还出现三次，当然最终可以化简。

拓展：

聊城市，山东省地级市，位于山东省西部，西部靠漳卫河与河北省邯郸市、邢台市隔水相望，南部和东南部隔金堤河、黄河与济宁市、泰安市、济南市和河南省为邻，北部和东北部与德州市接壤。介于东经115°16′—116°32′和北纬35°47′—37°02′之间，东西直距114千米，南北直距138千米，总面积8715平方千米。

6000多年前，聊城即有大汶口文化古城，先后创造了史前文化、运河文化、红色文化等 。聊城是国家历史文化名城，境内名胜古迹2700多处，有旅游开发价值的景观有470多处。国家级重点文物保护单位3处，省级重点保护单位15处，聊城城区独具“江北水城”特色，有“中国北方的威尼斯”之称。

远古时期部族领袖伏羲，战国时兵家孙膑，上古时期黄帝史官仓颉，三国时著名才人曹植，三国时魏国大将程昱，北魏名医王显，唐朝重臣张镐，五代后梁名将王彦章，南宋名将、民族英雄岳飞，南宋使臣王伦，清开国状元、一代名相傅以渐，清代平民教育家武训，著名民族英雄、抗日爱国将领范筑先，民国初期全国武术总裁判长马永胜，著名抗日爱国将领张自忠，冀中回民支队司令员、抗日民族英雄马本斋，红军长征干部刘振亚。