要預測地震如何通過地殼傳播，必須知道地下岩石的物質性質。要預測中午的天氣，必須給出黎明時分天氣作爲初始條件。要預測飛機的阻力系數，必須指定飛機的形狀。所有的數學模型都需要信息才能進行預測。要輸出結果，就先得輸入。

　　然而，在許多情況下，我們面臨着相反的問題：給定關於一個物理過程結果的信息，它是如何產生的？與前面給出的正問題相反，這種問題被稱爲逆問題，因爲它顛倒了編碼在描述物理過程的方程中的因果關係。將解答逆問題的過程想象成偵探數學謎題——先看到犯罪現場，然後尋找罪犯。

　　無處不在的逆問題

　　選擇一組數字，讓它們加起來等於27，這簡直是輕而易舉。但是反過來，如果知道一組數字的和是27，卻沒有額外信息，那麼要準確知道這組數字是什麼，則是難如登天。

　　○逆問題比正向問題困難得多。| 圖片來源：Pany@NPI

　　如果空間中有一個已知電場的擾動，怎麼知道引起電場的物體在哪裏，它的阻抗是多少呢？一些種類的魚爲了在渾濁的水中尋覓到食物和戀人，進化出了非凡的聰明才智，能夠求解出電場定位這一逆向問題。

　　○(A) 鱘能感知浮游動物（水蚤）釋放出的電場；(B) 電鰻通過尾巴上的帶電器官釋放出電場，如果物體的導電性與周圍水的導電性不同，就會讓電鰻自身產生的電場發生扭曲。浮游生物的導電性比周圍水的導電性大，因而會增強局部電場。| 圖片來源：scholarpedia

　　知道一顆恆星發出的光譜，如何知道它的化學成分是什麼？知道地震波的表面觀測，如何知道它經過的岩石的性質是什麼？如今，人們求解逆問題以監測核反應堆的完整性，或許有一天，我們也可以求解逆問題來確定遙遠系外行星的化學成分。

　　逆問題非常有趣，而且無處不在。蝙蝠和潛艇船員解決了在黑暗中導航的逆問題——讓信號反彈回來的障礙物在哪裏？他們的解決方案支撐着許多現代技術，從地下石油勘探，到醫學成像和日常天氣預報。人類很難下潛到海底，更無法進入到火熱的太陽內部，但是，這些技術提供了一種有效的方法，從這些我們無法輕易進行實驗的地方獲取信息。

　　如何求解逆問題？

　　然而，求解逆問題在數學上非常困難。現實中出現的正向問題往往是適定性問題，也就是說，對於合理的輸入數據，有着合理的唯一解決方案。不幸的是，逆問題卻幾乎總是非適定性問題，通常有許多可能的輸入與觀察到的輸出相匹配。即使對於完美的數據存在唯一的解決方案，如果觀察到的輸出有所波動，這個解決方案通常也是不穩定的；而現實生活中的觀察結果往往是片面的，並被環境噪聲干擾破壞。

　　1966年，馬克·卡克（Marc Kac）就提出了一個逆問題解具有非唯一性的著名例子：一個人能聽到鼓的形狀嗎？

　　根據理想化的數學模型，鼓的聲音是通過由曲線Γ限定的區域上拉普拉斯算子的主要本徵值描述的。如果給定關於一個未知區域上拉普拉斯算子本徵值的全部知識，有可能重建曲線Γ的形狀嗎？

　　Carolyn Gordon等人給出了一個具有里程碑意義的結果，他們用反例證明答案是否定的：兩個非平凡的不同形狀會給出完全相同的本徵值。

　　○這兩種不同邊界形狀的“鼓”會發出相同的諧音。| 圖片來源：[1]

　　對於非適定性這一基本特徵，有兩種回應：確定性方法和貝葉斯方法。

　　確定性方法說的是，問題應該被正則化：引入額外的信息，將問題轉化爲一個近似的適定性問題。例如，可以修改問題，尋找最小數量的輸入，或最平滑的輸入，或與當前猜測最接近的輸入，以匹配已知的觀察結果。

　　然而，確定性方法在很多方面都難以令人滿意。首先，正則化總是涉及任意的選擇而非主觀的選擇：在所有與觀測數據一致的可能輸入中，爲什麼認爲這個輸入是問題的唯一解決方案呢？此外，改變添加的正則項的強度通常會完全改變解的特性，而且在實踐中經常不清楚應該如何選擇正則項的強度。

　　貝葉斯方法則將逆問題的解看作是輸入空間的概率分佈，而不是單個輸入。這個分佈給任何在實驗誤差範圍內與觀測數據匹配的輸入都賦予一定的概率。然後，根據觀察結果反向求解的過程基本上就是一個貝葉斯過程，代表我們當前知識的先驗概率分佈，隨着新獲取的信息更新爲後驗概率分佈。（進一步閱讀《用貝葉斯的眼光看待世界》）

　　貝葉斯方法在哲學上更令人滿意，但它的計算量大得可怕：描述一個典型問題的後驗概率分佈，可能需要求解數十萬、甚至數百萬個正向問題。對於大多數物理問題，如此巨大的成本使得這種方法完全不具有可行性。逆問題的高效貝葉斯解法是數值分析和統計研究領域的前沿問題，有許多最新的進展和重要的發現等着我們。

　　參考來源：

　　[1]https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/i-inverse-problems

　　[2]http://scholarpedia.org/article/Electrolocation