歡迎收聽今天的故事，我是你的朋友——楊樹。

上節課，我們講解了一個重要的數學思想——無窮大，這個思想會在今後的學習中，尤其是高等數學的學習中，起到很關鍵的作用。

質數起源

我們這節課，來聊一個“沉重”的話題，會孤獨的數字——質數。爲什麼說質數是會孤獨呢？這就要從它的定義說起。

相信大家最早聽說質數這個概念，是在小學。那時候老師告訴大家，一個自然數，如果除了1和它本身，沒有其他的約數，就叫做質數。大家肯定還背過100以內的質數：2，3，5，7，11等等……。於是我們就對質數有了一個模糊的印象：它們好像沒有什麼朋友，除了1和它們自己，其他數都不是它們的因子。

那麼問題來了，爲什麼以前，人們要把具有這樣性質的數找出來呢？

在平均數那節課裏，我們學過，人們創造除法是因爲需要把東西平均分配。那麼在做平均分的這個動作的時候，人們就會逐漸發現一些問題。比如，12個東西很好分，分給2個人，每個人就有6個；分給3個人，每個人就有4個；分給4個人，6個人也都可以正好分完。但是有一些數字就很不好分。比如7，除非正好有7個人，一人一個。不然，無論是幾個人，都無法正好平均分完。（當然了，如果只有一個人，那也就不用分了嘛，所以這裏也就不考慮啦。）於是人們就把這一類特別不好分配的數，都總結了出來，放在一起。爲了方便稱呼，我們還要給它起一個名字——質數。

由於年代太久遠，最早給質數起名字的是誰？是哪國人？都無從考究了。不過世界各地，對質數的命名都是大同小異的。在中國，叫做質數，在英文中，叫做prime number。意思都是——最本質，最基本的數，表示它們無法被分成幾個大於1的數的乘積了。

質數有無窮多個

隨着人類社會的發展，以及數學的進步，已知的質數越來越多。於是人們逐漸開始思考，質數是不是有無窮多個呢？如果不是無窮多個，那麼最大的一個質數是多少呢？同學們不妨思考一下，你認爲質數有無窮多個還是有限個？其實這個問題，在歐幾里得的《幾何原本》中，就有着非常精彩的解答。

接下來，我就來帶大家看一看這個解答，同學們可以拿出一支筆和一張紙，跟着老師的思路，一起來寫寫看。

歐幾里得採用了反證法，來證明質數有無窮多個。

首先，我們假設質數有有限個，不妨設有n個，分別用p1，p2，p3，…pn表示那麼，如果我們把所有的這n個數都相乘，再加1，也就是p1，p2，p3，…pn+1,那這個數顯然不能被p1~pn中的任何一個數整除。而p1，p2，p3，…pn是所有的質數。也就是說，這個數不能被任何一個質數整除，那當然更不能被合數整除了。所以說，這個數不能被任何一個自然數整除。那麼顯然，這個數也是質數。而這個結論，跟我們剛剛的假設，產生了矛盾。所以說，我們的假設是錯的。質數不可能是有限個，一定是無窮多個。

如果你沒有完全聽懂，可以回放這一段內容，直到聽懂爲止。當然，你也可以在我們音頻下方，查看我們音頻的文稿，來幫助你更好地理解。

質數的著名猜想

在我們中小學數學課本上，與質數有關的內容實在不多，也不是太難，好像質數並沒有多大用處。但事實上，質數在數論當中的地位，幾乎相當於DNA在生物中的地位。數論中，幾乎所有的知識體系，都是圍繞着質數展開的。

跟傳統數學不一樣的是，數論中，幾乎所有的定理和命題，都是靠數學家先提出猜想，再給出證明，有的或者乾脆成爲世紀難題，留給後人去解決。

1742年，哥德巴赫寫了封信給歐拉。信中提到一個猜想：任何大於5的奇數，都可以寫成三個質數之和。歐拉在回信中認爲這個猜想可能是正確的，並給出了另一個更簡潔的表述：任何一個大於6的偶數，都可以寫成兩個質數之和。比如8=3+5，10=3+7.但是歐拉也沒能給出證明。這就是著名的哥德巴赫猜想。

遺憾的是，兩百多年過去了，至今也沒有人能夠證明這個結論是對的，當然，人們也沒有找到反例說明它是錯的。不過，陳景潤先生在1966年證明出了一個非常接近的命題：任何一個偶數，都可以表示成：一個質數，與一個“不超過兩個質數的乘積”之和。用數學語言描述就是，任何一個偶數，都可以寫成a+b，或者a+b·c的形式，其中a，b，c均爲質數。這也是至今爲止，最接近哥德巴赫猜想的證明。

像這樣的猜想，其實還有很多，比如孿生質數猜想，和前幾天剛剛宣佈被證明的黎曼猜想。（當然了，對不對還需要數學界的檢驗）這些偉大的猜想，都是人類智慧的結晶，也推動着人類社會不斷進步。

質數的用途

不知道聽到這裏，同學們會不會有一個疑問。我們研究這些質數，這些猜想，到底有什麼用呢？

其實，在1977年以前，質數在我們的生活中，還真沒有什麼作用。

但是隨着人類科技的進步，在計算機誕生後，信息安全，就成了一個十分重要的事情。可以說，如果沒有安全的信息傳輸，就不會有現在的互聯網時代。同學們想一想，如過讓你加密一段文件，你如何做到讓別人無法破解呢？

1977年，三位計算機天才，就想到可以用質數的性質，把文件進行加密。

我們都知道，任何一個大於1的自然數，都可以唯一的分解成，一個或幾個質數的乘積。而不管是計算機還是人，分解質數的方法都是——嘗試！比如，85分解質因數，我們就會先嚐試85除以2是不是整數，發現不是，再判斷85除以3是不是整數……最後我們嘗試出85=5×17.這種嘗試的方法，顯然是很慢的，尤其是數字特別大，那麼運算會更加複雜。而如果反過來，讓我們計算5×17，誰都可以很快算出結果是85。

於是他們就通過這樣的方法，製造出了一種加密的算法。大概的思想是這樣的：他們先找到兩個很大的質數，並把這兩個質數相乘。

然後發送方將乘積發送給接收方，而要想得到具體的信息，就得先分解這兩個數的乘積得到密碼。接收方知道其中一個質數，所以能很快破解密碼，收到信息。這樣，發送的信息，就完全不用擔心被別人截獲了。因爲即使告訴別人這個數是多少，他們分解這個數也需要很久很久。等到算出來的時候，信息可能早就沒有用了。

所以說，數學中許多看似跟生活毫無關係的結論，有時候不是它們本身“沒有用”，而是我們還沒有找到使用它們的方法而已。或許未來有一天，質數會在我們的生活中，起到更加至關重要的作用。

課後練習

好了，又到了說再見的時候了。今天這節課，我們講解了質數的發展，以及它在密碼學中的重要作用。

現在我給大家留一道思考題：是否存在 10 個自然數，它們的和正好等於它們的最小公倍數？如果你知道答案，歡迎在下方的留言區給出你的答案。

下節課，我們講一個在課堂上會經常遇到的名詞——指數，我們不見不散。

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