微积分从入门到精通的十大关卡（九）

第九关 崩溃！！竟然有积分存在却找不到？

积分这部分内容分为不定积分和定积分两部分，定积分具有实际的意义，在生活中有广泛的应用。定积分和微分联系起来之后，积分的方法就变成了“积微分”，这个从定积分的定义中很容易可以看到。

通过牛顿莱布尼茨公式，我们发现定积分的结果等于被积函数的原函数在积分区间的增量，我们就迫切的希望知道函数的原函数怎么求。

( )′=f(x)，这个原函数的求法很显然是导数运算的“逆运算”。这部分内容在罗尔定理的时候经常用到，我们通过原函数构造辅助函数。每次通过导数运算去求原函数是非常麻烦的，甚至是非常困难的。当我们遇到困难的时候，我们不知道是因为我们不会求原函数，还是因为这个函数的原函数不存在，这种状态对于初学微积分的人来说是非常糟糕的。

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所以我们需要知道什么样的函数是有原函数的，原函数是什么样子的，我们也需要知道原函数如何来求。

在定积分部分，我们知道连续函数和只有有限个点有界函数在区间[a,b]是可积的，而积分上限函数∫axf(t)dt则是被积函数f(x)的原函数，这告诉了我们连续函数是存在原函数的。初等函数在定义区间都是连续的，这说明我们熟知的初等函数应该都是有原函数的。在初等函数在定义区间原函数都存在的前提下，我们将会聚焦在原函数如何找到这个问题上。而不定积分这部分正是求原函数的内容。我们把思路聚焦在初等函数的不定积分上，我们希望知道所有的初等函数的原函数。可惜的是，我们通过导数公式得到的基本积分公示表里面只有有限的几类函数的原函数的公式，比如幂函数、指数函数和几个三角函数。后来学习了第一类换元积分才掌握剩下的正切、正割等几个三角函数的原函数。反三角函数、对数函数则是学习了分部积分法才有公式出现，而且结论相当复杂。更为重要的是不定积分只有和差运算法则，没有乘积、商、复合函数的运算法则。分部积分法和换元法勉强能够解决含有乘积、商和复合运算的函数的不定积分。即便是后来完全掌握了有理函数的不定积分，可以通过有理变换和三角变换解决一些无理函数和三角函数的不定积分的问题，但是仍然有大量的初等函数的不定积分我们“想尽办法”依然无法求出。

初等函数明明存在反函数，却找不到，是个人愚钝？努力不够？还是其他原因？

不定积分的求法往往让很多同学产生一种无力感，认为不管如何努力总是有一些函数的原函数找不到。这种感觉其实对于每一位学生，不管是文科还是理科的学生来说都不陌生。

我们回忆一下数的扩张，可能会对我们心理和认知上有很大的帮助。在小学，我们识数之初，“数”还是“自然数”，我们会的运算法则，还仅仅是“加法”，当我们尝试着“减法运算”的时候，我们发现“1-2”我们不会算，这显然超出了我们当时的认知，直至我们命名了“负整数”，我们才知道不是我们不会算，而是在当时“自然数”的范围内无法找到“1-2”的结果；同样当我们在我们的“整数”的范围内，使用“乘法”运算法则是得心应手的，但是“除法”又出现了问题，我们无法回答“1/2”等于多少，我们知道有个数字，但是在整数范围内找不到这个结果，直至扩充了我们整数的范围变成有理数，我们的“加减乘除”运算的结果在有理数中是封闭的。一度我们认为x2=2的解也是有理数，但是后来发现不是，和我们前面的问题一样，我们知道存在一个不是有理数的解，却不知道它是谁，为了解决这个问题，我们发现了无理数。

对于函数来说，除了我们常见的加、减、乘、除、复合运算之外，还有导数运算，这些运算至少在初等函数中都是封闭的。

直至我们学习导函数的逆运算“不定积分”的时候，产生了如当初无理数产生之时一样的感觉，我们知道初等函数在一个定义区间是有原函数的，但是就是找不到。这意味着两种情况：我们求原函数的方法还有待完善，还有一种可能就是我们的原函数已经超出了初等函数的范畴。

目前我们学习的函数绝大多数都是初等函数，对于无法使用一个式子表示的函数我们见到的很少，甚至常常忽略，甚至很多时候我们在分析函数的连续性、可导性的时候常常自觉不自觉就会把“函数”的范畴自动定义为“初等函数”。尽管我们见过很多很多非初等函数，但是这些非初等函数大都“非解析式表达”的，比如图形、表格、描述法表示函数。其实非初等函数除了这些还有“无限”项函数的和“无限项”函数的积等类型，可以说非初等函数的“个数”要远远多于初等函数。

不过所好的是，原函数可以用∫axf(t)dt表示，无理数就很糟糕了，我们除了用无限不循环小数来定义之外，并没有一个统一的形式来表示，甚至因为无理数的“不可数”的性质，我们无法一一标记。

初学微积分者，我们只需要知道我们在学习初等函数的导函数的逆运算的时候，发现了一类函数（∫axf(t)dt即原函数）并不是完全由初等函数表示的。这需要我们对函数加强认识，也需要我们想更多的办法表示函数，比如后来的“级数”，复变函数等。

在这个基础上，我们更加认识到微积分的本质仍然是研究函数的，微分和积分更多的被函数函数的运算，便于我们通过量化的方式解决具体问题。而函数依然是我们研究的重点和以后发展的空间。

当然，我们很多人会很想知道哪些初等函数的原函数不是初等函数，这些原函数用什么方式来表达。

第一个问题，相对比较好回答，毕竟在具体求原函数的过程中，我们积累了大量的经验和规律，如：sinx/x，cosx/x，tanx/x，lnx/x，e^(x^2),sin(x^2),cos(x^2),tan(x^2)都无法用初等函数表示他们的原函数。至于如何表达这些非初等函数，这需要我们后续的数学学习才能知道，希望大家能够有兴趣继续学习数学而把这些问题都研究清楚。

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