萬有引力的發現歷史，如何利用萬有引力定律，推導行星橢圓軌道？
牛頓蘋果是一個漂亮的故事，我們不必去爭論故事的真假，因爲這個故事的意義，已經超越了故事本身。
萬有引力的歷史開普勒定律，在1618年由德國科學家開普勒提出，開普勒第一定律就指出了行星運行的軌道爲橢圓；萬有引力定律，在1687年，由牛頓於《自然哲學的數學原理》上發表。
兩者是統一的，開普勒定律是萬有引力的表象，意味着我們可以由萬有引力定律，去推導開普勒三大定律。
在歷史上，最先有萬有引力和距離平方成反比想法的，是英國科學家胡克，就是那個對牛頓來說嫉惡如仇的胡克。
胡克是牛頓的領導（英國皇家學會會長），胡克在數學上遠遠不及牛頓，雖然他有了萬有引力的想法，但是僅限於想法而已。
胡克就失敗在這裏，不然發現萬有引力的皇冠，就是他的了！
胡克還是英國皇家學會會長時，就曾請教過牛頓，問牛頓是否能通過“引力和距離平方成反比”，來推導行星橢圓運動規律，牛頓給胡克的回答是肯定的，但是並沒有告訴胡克具體的推導過程。
牛頓大神利用自創的微積分，加上天才的頭腦，推導行星橢圓軌道，簡直就是易如反掌。
以至於後來牛頓和胡克，因爲“萬有引力第一發現者”而結仇，當牛頓坐上英國皇家學會會長的位置後，恨不得把胡克打入“十八層地獄”。
萬有引力定律推導橢圓軌道我們藉助虛數的性質，會更容易些，但是推導過程並不簡單。我們把萬有引力定律，表示爲矢量形式：
其中（-e^iθ）藉助歐拉公式後，表示的就是單位大小的矢量因子，給出了萬有引力的方向，同時與萬有引力結合參與運算；至於負號，是因爲θ=0時，萬有引力方向指向原點；並利用牛二定律，得到加速度a。
然後，我們需要考察速度和加速度極座標的微分形式：
然後兩個加速度公式，得到微分方程：
求解該微分方程，就可以得到軌道方程的解（詳細推導過程，我悟空問答中有）：
該軌道方程，正是圓錐曲線的標準方程，其中e爲偏心率！
（1）當e=0時，曲線爲正圓；
（2）當0<e<1時，曲線爲極點在下焦點的橢圓；
（3）當e=1時，曲線爲開口向上的拋物線；
（4）當e>1時，曲線爲極點在上焦點的雙曲線；
至於偏心率實際爲多少，取決於c1、C和GM，爲大天體的引力場分佈，和小物體的初始狀態；sinθ=-1爲近日點，sinθ=1爲遠日點。
