在理论物理学的前沿，许多最流行的想法具有一个共同点：这些想法始于一个数学框架，该框架试图解释比我们目前流行的理论更多的东西。我们目前的广义相对论和量子场论的框架非常有用，但是它们不能解释一切。本质上它们是彼此不相容的，无法充分解释暗物质、暗能量、或我们的宇宙充满物质而不是反物质的原因，以及其它谜团。

的确，数学使我们能够定量地描述宇宙，当正确应用时，这是一个非常有用的工具。但是宇宙是物理的、而不是数学的实体，两者之间有很大的区别。仅凭数学不足以构成所有事物的基本理论。

大约400年前，展开了关于宇宙认知的争论。几千年来，天文学家使用地心模型准确地描述了行星的轨道，在该模型中地球是静止的，所有其它物体都绕地球运行。借助几何数学和精确的天文观测资料，包括诸如圆、等分点（equants）、均轮（deferents）和本轮（epicycles）之类的工具，对天体轨道的精确数学描述与我们看到的壮观影像相匹配。

现在我们知道，这种认知并不完美，尝试对其进行改进，不是导致了更多的大轮转，就是在16世纪出现了哥白尼的日心说，将太阳置于中心、逆行运动的解释变得更简单，但对数据的拟合却更差。这时开普勒出现了，他有一个绝妙的主意，试图解决所有问题。

他注意到，如果包括地球但不包括地球的月亮，则总共有六个行星。他还注意到，从数学上讲，是只有五个数学对象的柏拉图体：它们的面都是等边多边形。通过在每个行星的内部和外部绘制一个球体，他可以以非常适合行星轨道的方式“嵌套”它们：比哥白尼做的都要好。这是一个出色的、美丽的数学模型，可以说是构建今天我们称之为“宇宙学”的首次尝试。

但是通过观察，它失败了。它的表象描述甚至不及古代的托勒密模型好。这是一个绝妙的主意，也是第一次尝试仅从纯数学上探索宇宙的样子，宇宙好像应该这样，但只是不起作用。接下来出现的是开普勒真正具有才华的遗产。

开普勒抛弃掉与观察不一致的美丽、优雅、引人注目的模型，取而代之的是，他钻入数据中去寻找哪种类型的轨道与行星的实际运动方式相匹配，并得出了一组科学（而非数学）的结论：

1. 行星并不是绕着位于中心位置的太阳绕圈运动，而是绕着椭圆形移动，以太阳为焦点，用一组不同的参数描述每个行星的椭圆。

2. 行星并不是以恒定的速度运动，而是以随行星与太阳的距离变化的速度运动，从而使行星在相同的时间内扫出相等的区域。

3. 最后，行星展现出的轨道周期与每个行星椭圆的长轴（主轴）成正比，并提高到一个特定的比率（确定为3/2）。

这是科学史上一个具有革命性的时刻。数学不是支配自然的物理定律的根源，它是描述自然物理定律如何表现的工具。之所以有此进展的关键是，科学必须以观察和测量为基础，任何理论都必须面对这样的观念。没有它，就不可能取得进展。

随着新的数学发明和发现，我们有了尝试描述物理系统的新工具，这一想法在整个历史上一次又一次地出现。但是每次，不是简单地新的数学告诉我们宇宙是如何工作的。取而代之的是，新的观察告诉我们，除了我们目前理解的物理学之外，还需要其他一些东西，仅凭纯粹的数学不足以使我们达到目标。

到1900年代初，牛顿力学陷入困境，它无法解释物体是如何以接近光速运动的，从而有了爱因斯坦的相对论。牛顿万有引力理论也处于类似处境，因为它不能解释水星在太阳周围的运动。时空之类的概念刚被提出，空间本身可以弯曲、而不是像3D网格那样平坦的非欧几里德几何学的思想已经在数学家中流传了数十年。

但是，开发一个描述时空和引力的数学框架，不仅需要纯粹的数学，还需要以一种特殊的、与宇宙的观测相吻合、经过微调的方式来应用数学。这就是我们大家都知道“爱因斯坦”这个名字的原因，但是很少有人知道“希尔伯特”这个名字。

爱因斯坦和希尔伯特，两个人都有将时空曲率与引力以及物质和能量的存在联系起来的理论，他们两个都有相似的数学形式。今天，广义相对论中的一个重要方程还有一个称为爱因斯坦-希尔伯特作用量的。但是希尔伯特自己独立于爱因斯坦的引力理论，他追求的野心更大：他的理论既要适用于物质，也要统一适用于电磁学以及引力。

然而这与现实不符。希尔伯特想构建一个数学理论，他认为该数学理论应该适合于自然界现实，并且会获得极为成功的方程式来定量预测引力的影响。但是爱因斯坦做到了，这样的场方程被称为爱因斯坦场方程，而没有希尔伯特的名字。不面对现实，我们没有物理学。

几年后，在量子物理学的背景下再次提出了几乎相同的观点。即使简单地通过双缝发射电子，根据所有初始条件也不知道电子将在何处缠绕。需要一种新型的数学，一种基于波动力学和一系列概率结果的数学。对于今天我们所使用的向量空间和算符的数学方法，学过物理学的人都会听到一个响亮的术语：希尔伯特空间。

也是这个数学家希尔伯特发现了一组数学矢量空间，这些空间为量子物理学带来极大的希望。再次，当要面对物理现实时，它的预测缺乏实际涵义。为此，需要对此数学进行一些调整，从而创建了一些被称为装束希尔伯特空间（Rigged Hilbert space）或物理希尔伯特空间（physical Hilbert spac）的东西。在运用这些数学规则时需要某些特定警告，否则我们的物理宇宙的结果将永远无法恢复。

如今，在理论物理学中变得非常流行，求取数学作为通往更基本的现实理论的潜在途径。这些年来尝试了许多基于数学的方法，诸如：

• 施加其它对称性，

• 增加额外的尺度，

• 在广义相对论中添加新的场，

• 在量子理论中增加新的域，

• 使用数学群论中的更大的群来扩展标准模型，

• 等等。

这些数学探索是有趣的，可能与物理学相关：它们可能提供有关宇宙的目前尚不为人所知的秘密线索。但是，仅靠数学本身无法使我们认知宇宙如何运作。如果不将其预测面对物理宇宙本身，我们无法获得明确的答案。

每个学物理的在第一次学习计算一个抛物体的轨迹时，都会遇到这样的问题：它运行了多远？在哪着陆？在空中停留多长时间？在求解控制这些对象的牛顿定律的数学方程式时，不会得到真正的“答案”。会有两种不同的答案；那是数学给你的。

但实际上，只有一个对象，它仅遵循一条特定的轨迹，在某一特定时间降落在一个特定的位置。什么答案与现实相对应？数学不会告诉你。为此，您需要了解有关物理问题的具体详细信息，因为只有这样才能告诉您哪个答案背后具有物理意义。数学会让您在这个世界上走得更远，但是并不能为您带来一切。需要与现实结合，才有希望理解物理的宇宙。