在理論物理學的前沿，許多最流行的想法具有一個共同點：這些想法始於一個數學框架，該框架試圖解釋比我們目前流行的理論更多的東西。我們目前的廣義相對論和量子場論的框架非常有用，但是它們不能解釋一切。本質上它們是彼此不相容的，無法充分解釋暗物質、暗能量、或我們的宇宙充滿物質而不是反物質的原因，以及其它謎團。

的確，數學使我們能夠定量地描述宇宙，當正確應用時，這是一個非常有用的工具。但是宇宙是物理的、而不是數學的實體，兩者之間有很大的區別。僅憑數學不足以構成所有事物的基本理論。

大約400年前，展開了關於宇宙認知的爭論。幾千年來，天文學家使用地心模型準確地描述了行星的軌道，在該模型中地球是靜止的，所有其它物體都繞地球運行。藉助幾何數學和精確的天文觀測資料，包括諸如圓、等分點（equants）、均輪（deferents）和本輪（epicycles）之類的工具，對天體軌道的精確數學描述與我們看到的壯觀影像相匹配。

現在我們知道，這種認知並不完美，嘗試對其進行改進，不是導致了更多的大輪轉，就是在16世紀出現了哥白尼的日心說，將太陽置於中心、逆行運動的解釋變得更簡單，但對數據的擬合卻更差。這時開普勒出現了，他有一個絕妙的主意，試圖解決所有問題。

他注意到，如果包括地球但不包括地球的月亮，則總共有六個行星。他還注意到，從數學上講，是隻有五個數學對象的柏拉圖體：它們的面都是等邊多邊形。通過在每個行星的內部和外部繪製一個球體，他可以以非常適合行星軌道的方式“嵌套”它們：比哥白尼做的都要好。這是一個出色的、美麗的數學模型，可以說是構建今天我們稱之爲“宇宙學”的首次嘗試。

但是通過觀察，它失敗了。它的表象描述甚至不及古代的托勒密模型好。這是一個絕妙的主意，也是第一次嘗試僅從純數學上探索宇宙的樣子，宇宙好像應該這樣，但只是不起作用。接下來出現的是開普勒真正具有才華的遺產。

開普勒拋棄掉與觀察不一致的美麗、優雅、引人注目的模型，取而代之的是，他鑽入數據中去尋找哪種類型的軌道與行星的實際運動方式相匹配，並得出了一組科學（而非數學）的結論：

1. 行星並不是繞着位於中心位置的太陽繞圈運動，而是繞着橢圓形移動，以太陽爲焦點，用一組不同的參數描述每個行星的橢圓。

2. 行星並不是以恆定的速度運動，而是以隨行星與太陽的距離變化的速度運動，從而使行星在相同的時間內掃出相等的區域。

3. 最後，行星展現出的軌道週期與每個行星橢圓的長軸（主軸）成正比，並提高到一個特定的比率（確定爲3/2）。

這是科學史上一個具有革命性的時刻。數學不是支配自然的物理定律的根源，它是描述自然物理定律如何表現的工具。之所以有此進展的關鍵是，科學必須以觀察和測量爲基礎，任何理論都必須面對這樣的觀念。沒有它，就不可能取得進展。

隨着新的數學發明和發現，我們有了嘗試描述物理系統的新工具，這一想法在整個歷史上一次又一次地出現。但是每次，不是簡單地新的數學告訴我們宇宙是如何工作的。取而代之的是，新的觀察告訴我們，除了我們目前理解的物理學之外，還需要其他一些東西，僅憑純粹的數學不足以使我們達到目標。

到1900年代初，牛頓力學陷入困境，它無法解釋物體是如何以接近光速運動的，從而有了愛因斯坦的相對論。牛頓萬有引力理論也處於類似處境，因爲它不能解釋水星在太陽周圍的運動。時空之類的概念剛被提出，空間本身可以彎曲、而不是像3D網格那樣平坦的非歐幾里德幾何學的思想已經在數學家中流傳了數十年。

但是，開發一個描述時空和引力的數學框架，不僅需要純粹的數學，還需要以一種特殊的、與宇宙的觀測相吻合、經過微調的方式來應用數學。這就是我們大家都知道“愛因斯坦”這個名字的原因，但是很少有人知道“希爾伯特”這個名字。

愛因斯坦和希爾伯特，兩個人都有將時空曲率與引力以及物質和能量的存在聯繫起來的理論，他們兩個都有相似的數學形式。今天，廣義相對論中的一個重要方程還有一個稱爲愛因斯坦-希爾伯特作用量的。但是希爾伯特自己獨立於愛因斯坦的引力理論，他追求的野心更大：他的理論既要適用於物質，也要統一適用於電磁學以及引力。

然而這與現實不符。希爾伯特想構建一個數學理論，他認爲該數學理論應該適合於自然界現實，並且會獲得極爲成功的方程式來定量預測引力的影響。但是愛因斯坦做到了，這樣的場方程被稱爲愛因斯坦場方程，而沒有希爾伯特的名字。不面對現實，我們沒有物理學。

幾年後，在量子物理學的背景下再次提出了幾乎相同的觀點。即使簡單地通過雙縫發射電子，根據所有初始條件也不知道電子將在何處纏繞。需要一種新型的數學，一種基於波動力學和一系列概率結果的數學。對於今天我們所使用的向量空間和算符的數學方法，學過物理學的人都會聽到一個響亮的術語：希爾伯特空間。

也是這個數學家希爾伯特發現了一組數學矢量空間，這些空間爲量子物理學帶來極大的希望。再次，當要面對物理現實時，它的預測缺乏實際涵義。爲此，需要對此數學進行一些調整，從而創建了一些被稱爲裝束希爾伯特空間（Rigged Hilbert space）或物理希爾伯特空間（physical Hilbert spac）的東西。在運用這些數學規則時需要某些特定警告，否則我們的物理宇宙的結果將永遠無法恢復。

如今，在理論物理學中變得非常流行，求取數學作爲通往更基本的現實理論的潛在途徑。這些年來嘗試了許多基於數學的方法，諸如：

• 施加其它對稱性，

• 增加額外的尺度，

• 在廣義相對論中添加新的場，

• 在量子理論中增加新的域，

• 使用數學羣論中的更大的羣來擴展標準模型，

• 等等。

這些數學探索是有趣的，可能與物理學相關：它們可能提供有關宇宙的目前尚不爲人所知的祕密線索。但是，僅靠數學本身無法使我們認知宇宙如何運作。如果不將其預測面對物理宇宙本身，我們無法獲得明確的答案。

每個學物理的在第一次學習計算一個拋物體的軌跡時，都會遇到這樣的問題：它運行了多遠？在哪着陸？在空中停留多長時間？在求解控制這些對象的牛頓定律的數學方程式時，不會得到真正的“答案”。會有兩種不同的答案；那是數學給你的。

但實際上，只有一個對象，它僅遵循一條特定的軌跡，在某一特定時間降落在一個特定的位置。什麼答案與現實相對應？數學不會告訴你。爲此，您需要了解有關物理問題的具體詳細信息，因爲只有這樣才能告訴您哪個答案背後具有物理意義。數學會讓您在這個世界上走得更遠，但是並不能爲您帶來一切。需要與現實結合，纔有希望理解物理的宇宙。