278年了，爲何我們還在證明那個“沒用”的猜想？
▲ 1742年6月7日，在哥德巴赫寫給歐拉的信裏，提出了哥德巴赫猜想。圖/Wikipedia
哥德巴赫的“1+1”，證明起來怎麼就那麼難？
1742年6月7日，莫斯科，一位年過半百的俄國外交部職員，給遠在柏林的數學家朋友歐拉寫了一封信，在信中，這名職員講述了一個自己無法證明的猜想，他希望當時已享譽世界的歐拉大師，能夠幫助他完成證明。
出乎他意料的是，歐拉在回信中，坦言自己也無法證明這個猜想，但是歐拉認爲這個猜想是正確無疑的。
其實不僅是歐拉，直到278年後的今天，這個猜想依舊無人可以證明，而給出這個猜想的人——哥德巴赫，也因此名垂青史。
哥德巴赫，在猜想什麼？
哥德巴赫研究數學，其實是半路出家，他早年是學法學的，在畢業後遊歷歐洲時，遇到過許多數學家。
在與這些數學家交流的過程中，哥德巴赫忽然就決定去研究數學了，好在他在這方面也頗有天賦。1725年，當他移居彼得堡時，甚至還當選了當地科學院的數學和歷史教授，1728年，他又做了當時的俄國沙皇彼得二世的老師，事業一直蒸蒸日上。
▲ 1744年彼得堡的地圖，彼得大帝在建設彼得堡的時候，招募了許多數學家來做規劃，哥德巴赫和歐拉就是在這裏認識的。圖/Wikipedia
1742年6月7日的那一次靈感爆發，是哥德巴赫一生中最爲高光的時刻。他發現：“任何一個大於2的整數，都可以寫成3個質數之和。”比如10，就可以寫作2+3+5。
所謂質數，就是除了1和它本身，不能被其它數字整除的數，比如2、3、5、7等等，4就不是質數，它是合數，因爲它除了能被1和4整除外，還能被2整除。
哥德巴赫的這個猜想，在當時其實是相當另闢蹊徑的。在數學史上，人們對於質數的研究大多是涉及乘法，而不是加法。
▲ 古希臘數學家歐幾里得曾證明過與質數相關的“唯一分解定理”，即：任何一個大於1的自然數N，如果N不爲質數，那麼N可以唯一分解成有限個質數的乘積。圖/Wikipedia
另外，人們對於質數分佈還有一個固有印象，就是隨着數字變大，質數的分佈也會變得稀疏，畢竟當一個數字很大的時候，找出一個能整除它的數還不簡單？這個時候，哥德巴赫的猜想也能成立麼？難道就靠那麼“僅有的”幾個大質數，三三加和就能得到所有的數？
▲ 埃拉託斯特尼篩法是個找出在一特定整數以下的所有素數之簡單算法，由古希臘數學家埃拉託斯特尼於公元前3世紀發明。圖/Wikipedia
其實，對於質數的分佈規律，到現在也沒有研究清楚（黎曼猜想就涉及這個問題），質數的出現飄忽不定，所以事實不一定是哥德巴赫想得太巧合，而是這個固有印象有問題。
大數學家歐拉在看了好友的猜想後，估計當時就被這其中蘊含的數字之美打動了。是啊，這個猜想簡單易懂，卻又包羅萬象（所有大於2的正整數都適用），這不正是數學的魅力麼？
▲ 大數學家歐拉。 圖/Wikipedia
經過一番研究，歐拉只給出了一個哥德巴赫猜想的等價猜想，即：任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。大師就是大師，這兩個猜想我怎麼就看不出來是等價的呢？總之你先知道結果就好，在文末的小專欄裏我會給出證明。
後來，隨着1這個數，被踢出了質數的範疇，哥德巴赫猜想的表達又變了。如今，哥德巴赫猜想的正式表達是：任何一個大偶數（大於等於6），都可以分解成兩個質數的和。
▲ 證明出弱哥德巴赫猜想的哈洛德·賀歐夫各特。圖/網絡
這種表達又被稱爲強哥德巴赫猜想，除此之外，還有一個弱猜想，即任一大於7的奇數都可以表示爲三個奇素數之和。對於數學家來說，如果強猜想被證明，弱猜想就可以被推導出來，反過來卻不可以，弱猜想在2013年已經由祕魯數學家哈洛德·賀歐夫各特完成了證明。
證明“1+1”怎麼這麼難？
在哥德巴赫猜想被提出後的160多年裏，數學界對這個難題的證明一直寂靜無聲，人們最多就是像歐拉那樣，把這個猜想等價地改來改去，或是饒有興趣地用數字驗證一下，這樣做或許是在尋找反例......
1900年，數學家希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出的數學界尚未解決的二十三個問題，哥德巴赫猜想就是第八個問題中的一部分。
▲ 大衛·希爾伯特，19世紀末和20世紀前期最具影響力的數學家之一。圖/Wikipedia
要直接證明哥德巴赫猜想太難了，於是數學家們退而求其次，換了一種思路。
假設原初的猜想寫成公式是：M=a+b；
現在的思路就換成了：
M=a+b
且a=P1×P2×...×Pn，b=Q1×Q2×...×Qt
其中P和Q都是質數；
僅需證明，n與t的最大值爲1
因爲這個時候：a=P1，b=Q1
即M=a+b=P1+Q1，也就是大偶數M爲兩個質數的和，猜想得證。
這種思路又叫“篩法”，它是在1919年，也就是哥德巴赫猜想提出177年之後，由一位名叫布朗的挪威數學家提出的。在常人看來，這種方法似乎是把簡單的事情說複雜了，但布朗卻利用它，成功地將n和t的值，都鎖定在了9，人們於是把這個結論稱爲“9+9”。
▲ 每一個偶數，都是紅線與藍線兩個質數的和（一個交點對應這一對質數解法）。圖/Wikipedia
布朗之後的一代代的數學家，都站在他的肩膀上，一點點地向“1+1”這個目標挪步。不過這個1+1，可不等於2啊！
1924年，德裔美國人拉德馬赫證明了“7+7”，8年後，德國人埃斯特曼證明了"6+6"，1938年和1940年，蘇聯人赫希塔布連續突破了"5+5"與"4+4"。後來，有一個叫阿特勒·塞爾伯格的人改進了篩法，得到了新“武器”的蘇聯人維諾格拉多夫和中國人王元，隨即證明出了“3+3”和“2+3”。
▲ 阿特勒·塞爾伯格，極大地改進了篩法。圖/Wikipedia
匈牙利人倫伊是第一個將其中的一個數字降到了1的人，但是他的證明是“1+X”，X是多少卻不知道。在他的基礎上，中國人潘承洞和王元在1962年成功地將數字推進到了“1+4”。
歷史上最後一個在哥德巴赫猜想上實現突破的，是大名鼎鼎的陳景潤。
▲ 中國數學大師陳景潤。圖/Wikipedia
1966年，陳景潤在《科學通報》上發表了有關"1+2"的證明，但是因爲當時發出來的論證只列出了證明過程的摘要，所以各國數學界的人士紛紛表示看不懂（不認可），直到1973年完整的論文發表後，“1+2”纔得到公認，這個定理也因此被命名爲“陳氏定理”。
▲ 陳景潤於1973年發表的論文。圖/《大偶數表爲一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》
雖然“1+2”看上去距離“1+1”只剩下臨門一腳了，但陳景潤用他的才華已經把篩法發揮到了極致，以至於在之後的50多年中，一直沒有人再能前進一步。
如今，全世界的數學家們，都翹首期盼着能有新的方法出現，讓人類能夠最終摘下哥德巴赫猜想——這顆數學王冠上的明珠。
爲什麼要證明“1+1”？有用麼？
許多人們看來不知所云的數學公式，在現實中其實都在發揮着巨大的作用，比如傅里葉級數被廣泛應用於信號分析領域，複變函數是現代工程科學的基礎。
▲ 金屬板內的熱分佈，使用傅里葉方法求解。圖/Wikipedia
但是哥德巴赫猜想是什麼呢？它彷彿只是一個就數論數的思維遊戲，對現代科技並沒有什麼有用的指導。雖然研究哥德巴赫猜想的數學家們所需要的也不多，像陳景潤無非就是需要一支筆和幾袋草稿紙而已，但是，讓如此多聰明的大腦，去研究這種形而上的問題，似乎是對人類智力的一種浪費。
▲ 數學界的“諾貝爾獎”——菲茲獎，雖然中國有許多數學大師，但迄今爲止尚未有人獲得此獎。圖/Wikipedia
當人們認爲基礎科學無用的時候，很可能是我們還不懂得該如何擁抱它的價值。
當古希臘人的幾何大師們在研究橢圓時，誰能想到這會是行星軌道的樣子？
▲ 拉斐爾《雅典學派》中的古希臘數學家歐幾里得，他正在用圓規做圖。圖/Wikipedia
數學王子高斯一生都在探索非歐幾何的實際應用，直至抱憾而終，直到一百七十年後，由非歐幾何發展而來的張量分析理論成爲愛因斯坦廣義相對論的核心基礎。
▲ 數學王子，高斯。圖/Wikipedia
人們在證明猜想過程中發現的數學新方法，甚至可能比證明猜想本身更重要，這就像阿波羅計劃的目的雖然是登月，但過程中的諸如圓珠筆、速凍蔬菜、紅外測溫儀等發明卻造福了全球的消費者。
278年過去了，人類至今仍未證明哥德巴赫猜想，也確實不知道它的價值所在，但我們不禁要憧憬：我們的世界會因爲這個猜想的證明，發生怎樣的改變呢？
小貼士：歐拉沒有騙我們吧？
提示：如果你不看這一段，對你理解文章不會有任何影響！
“任何一個大於2的整數，都可以寫成3個質數之和。”——哥德巴赫
“任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。”——歐拉
這兩個描述，爲啥是一回事？
哥德巴赫猜想的意思是：M=a+b+c，其中a、b、c都是質數，M是大於2的整數。
歐拉的猜想的意思是：N=p+q，其中p、q都是質數，N是大於2的偶數。
對於歐拉說法裏面不含的奇數，除了3之外，都可以用N+1表示，即p+q+1，在1742年，1也被歸類爲質數，所以p+q+1就是三個質數的和，跟哥德巴赫的描述一致。
對於任意一個大於2的偶數，除了4之外，都可以用N+2表示，即p+q+2，2也是質數，所以所以p+q+2也是三個質數的和，跟哥德巴赫的描述一致。
至於3和4，一看就知道可以同時滿足兩個人的說法（歐拉的猜想裏不含奇數，所以沒有3的事情）。
所以，兩個人說的是一回事。原來，歐拉真的沒有騙我們啊！
