中考数学最后一道压轴题往往都是二次函数为背景的综合题，此题一般都有复杂的参数运算，而且问题往往是要证明一些看起来很“奇怪”的结论。其实这些结论都是抛物线的相关性质，现将此些性质按照模型方式总结如下。

特注，这些模型性质其实在高中数学中有用到，不过也可以用初中数学方法推得。

为便于理解，本文抛物线解析式定为y=ax²，其实，对于任何y=ax²+bx+c函数，以下模型都成立。

1

一点一线模型

如上图，抛物线上任意一点到某点的距离会一直等于到某直线距离。

其中的某点和某直线计算公式不需要初中生掌握。

但为了证明该结论，特指出某点，也就是F点坐标

某直线解析式为：

简单证明如下：

不妨设点P坐标为（x,ax²）

则:

PF²=（x-0）²+(ax²-1/4a)²=(ax²+1/4a)²

PH²=[ax²-(-1/4a)]²=(ax²+1/4a)²

可以得到PH=PF

方法总结：巧设设参-恒等变形-设而不求。

当a值发生变化时，也成立：

2

恒垂直模型

如上图，如果经过某点的直线与抛物线相交两点，这两点与顶点的连线互相垂直。

特注：该点即点N，坐标为（0,1/a）

简单证明如下：

3

平行弦模型

如上图，如果AB//CD，则可以得x_a+x_b=x_c+x_d

证明如下：

由一点一线模型还可以推出以下结论：

一点一线之线段长

如图，线段AB=y_a+y_b+2OF

证明方法：一点一线模型推论

一点一线之角平分

如图，∠BEF=∠AEF

证法：余弦值+相似+换比

一点一线之垂直

如图，A’F⊥B’F

证明方法：角平腰模型

一点一线之三点共线

如图，点A、O、B'三点共线，同时，点B、O、A'三点也共线。

证明方法：k值相等；正切值相等；相似

一点一线之定值公式

证法：代数运算

一点一线之面积

其中α为直线AB与x轴夹角。

证法：铅锤法+线段长模型+三角函数公式

一点一线之圆相切

如图，以AF或BF为直径的圆会和x轴相切，以AB为直径的圆会和某线相切。

证明方法：略

一点一线之中点

如图，过点A的直线若与抛物线只有一个交点且交某线与点Q，则AB中点M和Q的连线会平行Y轴。

证明方法：略。

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