一道快手的算法面试题，没想到对数学要求还蛮高的！
本文约1500字，阅读大概需要8分钟
今天分享的题目来源于 LeetCode 上的剑指 Offer 系列 面试题14.I 剪绳子。根据统计，近期出现在快手的算法面试环节，属于中等难度，需要一定的数学功底。
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/
题目描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例1
输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例2
输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
题目解析
一、数学推导法
设绳子长度为，总共拆分为段，每一段的长度均为，请问 每一段的长度为多少时，乘积最大呢？
设绳子的长度为，且切分为段，则得到的乘积为（这里我们假设每一段的长度均为，则这道题目就转化为一个求函数 关于的一个最大值问题，稍微翻一下大学课本里的高等数学书中求导相关的内容，接着看；
对函数两边同时取对数：
上式两边对求导，注意，得：
于是
令，则，则;
即，当每一段绳子的长度取时，乘积取得最大值，但是每一段绳子的长度只能取整数，到底是取 2 好 还是取 3 好呢？
当时，等分的话，可以是，也可以是 ，乘积则分别对应和，显然 ，所以当然是取 3 好了。
也就是说对于长度为的绳子，我们尽可能以每一段为 3 进行分割，得到的乘积最大。
当绳子的长度时，也就两种情况（因为题目中绳子的长度要求是：
-
，只能拆为，乘积为 1 ；
-
，只能拆为，乘积为 2 ；
当绳子的长度时，我们就可以直接用对 3 进行求余运算，设商数为，余数为，即，其中余数又分为三种情况进行处理：
-
余数，此时直接返回即为最大的乘积，比如是，最大乘积为；时，最大乘积为；整除的情况都是如此。
-
余数，此时直接返回是不对的，为什么呢？因为
所以当时，而是返回. 比如，最大乘积为；当，最大乘积为;
-
余数， 此时直接返回即可。比如，最大乘积为；当，最大乘积为。
实现代码
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if(n <= 3){
return n-1;
}
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if(0 == b){
return (int)Math.pow(3,a);
}else if(1 == b){
return (int)Math.pow(3,a-1) * 4;
}else{
return (int)Math.pow(3,a) * 2;
}
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度：，实现中仅涉及取整、求余和求幂运算。
-
空间复杂度：保存商数的变量
a和保存余数的变量b仅使用常量空间。
二、动态规划
当时，就分为两种情况：
-
时，绳子只能剪为两个长度 1 的绳子，最大乘积为 1；
-
时，绳子只能剪为长度为 2 和 1 的两段，最大乘积为 2；直接返回。
当 n > 3 时，就可以按照动态规划的逻辑进行处理了：
-
初始值为：
为什么这么设置呢？
因为对于的绳子而言，我们完全可以拆分得到长度为 3、2 和 1 的绳子，拆分得到长度为 3 的绳子不必再拆分，算入乘积的话最大就是 3本身，2 和 1 同理。在举个栗子，比如，我们可以拆分为、和，而 3 、2 和 1 都是最终直接作为计算乘积时的因子出现的，所以.
-
递推公式为：
对于长度为的绳子而言，要取得最大乘积，就需要知道它的前 3 个状态和，而相应的最大乘积分别为：、和，的最大乘积则取三者中的最大值。
动态规划的递推公式为：
动画演示
实现代码
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if(n <= 3){
return n-1;
}
int dp[] = {1,2,3};
for(int i = 3; i < n; i++) {
int tmp = Math.max(3 * dp[0],Math.max(2 * dp[1], 1 * dp[2]));
dp[0] = dp[1];
dp[1] = dp[2];
dp[2] = tmp;
}
return dp[2];
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度
-
空间复杂度，使用的是长度为 3 的定长数组。
三、贪心方法
按照贪心策略来剪绳子，当时，我们尽可能多地剪长度为 3 的绳子；当剩下的绳子长度为 4 时，把绳子剪成长度为 2 的两段绳子，因。
实现代码
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if (n <= 3) {
return n-1;
}
int NumOf3 = n / 3;
if (n - NumOf3 * 3 == 1) {
NumOf3--;
}
int NumOf2 = (n - NumOf3 * 3) / 2;
return (int)Math.pow(3, NumOf3) * (int)Math.pow(2, NumOf2);
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度：
-
空间复杂度：
知识点
贪心思想、动态规划、数学推导
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End
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