題圖來自：Eva Vázquez，本文來自 微信公衆號：神經現實（ID：neureality） ，作者：Stephen Ornes

人類的大腦是一個奇蹟，也是一個演化之謎：860億左右的神經元被塞進僅僅1/4個充氣足球大小的空間內；從隨手刷刷Instagram到將人們送上太空——我們所做的任何事都依賴於這些神經元形成的網絡。但一直懸而未決的問題是——我們缺乏對這些網絡結構更深刻的理解。

知覺仍然是個特別令人傷腦筋的問題：人類的大腦是如何把氾濫的輸入信號 （光子、氣味分子、聲波、皮膚上的感覺） 轉化爲一種精確的心理模擬的？比如說，神經網絡如何表徵巧克力的氣味？

最近的研究表明：數學也許能夠幫助我們理清這些問題。 爲了更好地描述那些參與知覺和其他認知活動的複雜網絡，一些研究者求助於雙曲幾何 （hyperbolic geometry） 。 和其他的幾何學類別一樣，它是一套關於空間、距離和連接的法則。但是不同於大多數人在高中學習的 （或者說厭惡的） 歐氏幾何 （Euclidean geometry） ，雙曲幾何描述的是：如果空間在每一處都是彎曲的，它們是通過什麼方式連結起來的。

“幾何之父”歐幾里得

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“一直以來，雙曲幾何在生物學領域都沒有得到重視。”來自加州拉霍亞的索爾克生物研究所 （Salk Institute for Biological Studies） 的塔季揚娜·夏普 （Tatyana Sharpee） 說。在過去的幾年裏，對嗅覺系統結構的研究引導着她走向雙曲幾何學。但我們的嗅覺還只是個開端；她認爲同樣的方法也可以推廣到其他的感覺通道和過程中。

如果像夏普這樣的研究者是對的，那麼要理解心智，我們需要準備好信奉雙曲幾何的教義——當它們首次亮相時，近乎是數學世界的異端。

無底之夜的開端

2000多年前，被稱爲“幾何之父”的希臘數學家歐幾里得在其專著《幾何原本》 （Elements） 中總結出了一系列的法則。歐氏幾何的這些法則給平面的、應用的、物理的世界提供了近似的描述，並且在日常生活中也適用。一直以來它指導着我們跨越山海、建起高樓、駕車馳騁——通常我們以爲世界正是遵循着這些法則運行的。

但問題出在“平行公設” （歐幾里得的第五公設，Euclid’s Fifth Postulate） 。在原始版本中，它提出如果一條直線和其他兩條直線相交，並且這些相交所形成的同旁內角* （interior angles on the same side） 的加和小於180度，那麼另外的那兩條直線一定會在某一點交會 （廣爲人知的是“平行公設”的簡略版本：“平行線永不相交”） 。也正是在“平行公設”下，我們得到了“勾股定理”，並且證明了三角形的內角和是180度。

*譯者注：當一條直線與另外兩條直線相交時，位於直線一側，並且處在兩條直線之間的角一共有兩個。這時，稱這兩個角互爲同旁內角。

我們一般認爲一條公設應該是不證自明的，但在這方面“平行公設”命中了數學家們的要害。它似乎在直覺上並不是那麼有說服力——甚至歐幾里得在《幾何原本》中的大多數命題也都沒有援引“平行公設”。學者們花費了上千年來攻克這一令他們頭疼的問題，終於，在19世紀早期，他們開始發問：如果“平行公設”不一定成立呢？

這一問改變了一切。他們意識到違反“平行公設”並不是意氣用事，而是開啓了一扇大門——引進了仍然保持着自洽的新的幾何學。

匈牙利數學家亞諾什·鮑耶挑戰歐幾里得在2000多年前提出的法則

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打破“平行公設”的想法吸引了當時包括卡爾·弗里德里希·高斯 （Carl Friedrich Gauss） 和尼古拉·羅巴切夫斯基 （Nikolai Lobachevsky） 在內的很多大數學家。其中最值得一提的人物是亞諾什·鮑耶 （János Bolyai） ，一位胸懷抱負的匈牙利年輕數學家，他是首批爲這一新的幾何學制定規則的人之一。在1820年，他想到了一個激進的方法來挫敗歐幾里得。亞諾什意識到將“平行公設”的條件放寬打開了一扇通往一個奇異的、非歐幾何 （non-Euclidean geometries） 世界的窗戶。

他的父親法卡斯 （Farkas） 並不開心，說出了我們一般不會從一個數學家又或者是從一個父親的嘴裏聽到的話。

“看在上帝的面子上，放棄吧。”法卡斯給亞諾什寫信說。

他在信裏繼續寫道：“憎惡這種想法吧 （就像憎惡淫蕩的性交一樣） ，它會奪走你所有的閒暇、你的健康、你剩餘的生命，還有你生活中全部的幸福。”法卡斯也是一名數學家，並且是高斯終生的朋友，他提到高斯也曾經挑戰過歐幾里得。“我已去丈量過那無底之夜，然後我生活中所有的光明和歡樂全都熄滅於此。”

儘管父親所給的鼓勵僅此而已 （如果算得上是鼓勵的話） ，亞諾什卻並未就此罷休，繼續爲“非歐幾何” （現如今我們這樣稱呼它） 制定規則。在歐氏幾何中，三角形的內角加和是180度並且平行線永不相交。在非歐幾何中卻不是這樣。球面幾何 （Spherical geometry） 就是一個例子——如果你在球面上畫一個三角形 （就例如將北極、檀香山*和邁阿密三點連起來） ，它的內角和會超過180度。

雙曲幾何是另一種著名的非歐幾何。一個跨越了三維空間的雙曲平面，看上去並不是平的；它看上去更像是一塊品客薯片或是馬鞍，處處都是彎曲的。如果你站在一個雙曲平面上朝某個方向走一步，你會升高；如果你轉90度再走一步，你又會下降。在雙曲空間內，一個三角形的內角和小於180度。

迴廊與非歐視覺

回溯到100多年前，一項瀕臨被忘卻的研究曾提出雙曲幾何有助於解釋視知覺過程。1902年，德國科學家F·希勒布蘭德 （F.Hillebrand） 開展了平行線實驗 （alley experiment） ，10年後，W·布盧門費爾德 （W.Blumenfeld） 進行了重複實驗*。實驗在黑暗環境中進行，被試的頭部被固定住並且目視前方。呈現給被試的刺激是兩條末端固定 （並且固定端點關於被試的視線呈軸對稱） 的發光的線狀刺激 （見下圖所示，E代表固定的端點） 。被試被要求完成兩種任務：（1）平行任務 （parallel） ，被試調整刺激使得它們呈相互平行的直線；（2）距離任務 （distance） ，被試調整刺激使得兩條線處處間隔相等。在實驗的最後，被試就像是向一條小巷的中間放眼望去 （這也是實驗的命名由來，alley experiment可以直譯爲小巷實驗） 。

*譯者注：此處對原文有所修改，以便讀者理解實驗過程。參考論文 ：Zajaczkowska, A. (1956). Experimental test of Luneburg’s theory. Horopter and alley experiments. JOSA, 46(7), 514-527.

布盧門費爾德的平行線實驗。實驗結果發現被試排列的平行直線實際上是曲線；並且在平行任務下得到的曲線比在距離任務下得到的曲線更接近視線。

Zajaczkowska, A. (1956). Experimental test of Luneburg’s theory. Horopter and alley experiments. JOSA, 46(7), 514-527.

但這些實驗揭示出一個悖論：被試依靠自己的知覺將一些線判斷爲相互平行的直線，但實際上它們既不直又不平行，而是一條一條的曲線。在20世紀40年代，德裔數學家魯道夫·呂內堡 （Rudolf Luneburg） 在達特茅斯眼科研究所 （Dartmouth Eye Institute） 完成了一項工作，它可以幫助我們理解爲什麼對平行線的知覺和現實之間存在分離。他發現通過雙眼視覺，我們的知覺會形成一個描述我們周遭環境 （包括事物的形狀和位置） 的三維地圖。他試圖找到一個矩陣來建立物理的真實世界和我們所看到的世界之間的映射關係。

在20世紀，雙曲幾何成爲了一種藝術靈感來源：例如，荷蘭藝術家M.C. 埃舍爾（M.C. Escher）在其作品中描繪了雙曲幾何的模型。如今，來自康奈爾大學的數學家戴娜·泰米娜（Daina Taimina）遵循這種創作傳統，用鉤針編織雙曲空間的模型，通過這種方式，每個人都能將它拿在手上擺弄。

呂內堡等人得出結論：關於知覺的法則是非歐式的，而且能被雙曲幾何更好地描述。在數十年後的1983年，科學哲學家帕特里克·海蘭 （Patrick Heelan） 也論證了雙曲視覺空間的存在；海蘭還指出像保羅·塞尚 （Paul Cézanne） 、文森特·梵高 （Vincent van Gogh） 和約瑟夫·馬洛德·威廉·特納 （Joseph Mallord William Turner） 這些畫家都在他們的作品中描繪了雙曲結構。

嗅覺的幾何學

眼下，這事還沒完。研究者繼續探究知覺網絡的結構，一些近來的實驗證據支持視覺空間的確是非歐式的。在一項2018年的研究*中，研究者報告說人們認爲那些用非歐幾何的法則創造出的圖像比那些用歐式幾何的法則所創造出的圖像 （就是我們在中學深信不疑地拿來分析的那些） 要更加真實。

夏普說夜空也爲雙曲知覺提供了有力的證據。我們把黑暗中的宇宙看成是呈圓頂狀的，但天文距離被扭曲了。她提到，孩子們伸手去夠月亮是因爲它看上去近到觸手可及，但是“距離是被壓縮的”。

而這可能就是解開知覺的雙曲性質之謎的鑰匙：這一性質只出現在環繞式的大尺度內。“在小尺度內的任何曲線幾何都是歐式的。”她如是說。由紐瓦克市、紐約市以及奈阿克*三點形成的三角形是遵從着歐式法則的。“這符合地平假設。但如果是從紐約到倫敦再到墨爾本，那就不同了。”她說道。

這是她的嗅覺地圖*的中心思想，因爲從複雜程度來講，嗅覺地圖十分龐大。我們很容易假設具有相似分子結構的嗅覺分子聞起來也差不多 （這就好比認爲我們將平行線知覺爲是平行的） 。但夏普的發現卻並非如此。在實驗中被試被要求把相似的氣味分在同一組，隨後夏普分析了實驗得到的結果和常見氣味的化學結構。

她的發現表明：人類大腦對氣味分組的依據是它們通常一起出現的頻率，而不是它們的分子組成。當她將實驗中得到的各組氣味繪製成嗅覺地圖，夏普發現具有相似分子結構的氣味之間的距離最符合雙曲幾何 （而不是歐式幾何） 中的距離概念。她的工作說明——如果將知覺信息的組織結構投入一種彎曲的空間內來看，我們也許能夠更多地瞭解大腦是如何組織知覺信息的。

- Andrey Kuzmin/Shutterstock -

雙曲幾何，不入流的數學，除了模擬大腦知覺的複雜結構以外還有其他用武之地。在一篇即將發表的論文*中，巴塞羅那的物理學家們建立了跨多物種的動物大腦網絡模型。他們發現某個神經元未必會和與它空間距離最近的神經元相互通訊 （即依照歐氏幾何你可能會期待發生的情況） ，而是遵循一種不同的、更加奇異的幾何法則形成中繼網絡。他們在論文中報告，雙曲空間給各物種腦內的連接網絡“提供了近乎完美的導航圖”。雙曲幾何提示了“對於大腦的一種新的製圖學”，他們說道。類似地，一些計算機科學家也注意到雙曲幾何提供了一種吸引人的數據組織方法，這種方法可以用於組織機器學習中所需要的大數據庫。

“雙曲幾何是一種對大腦結構的複雜性非常自然的表徵方式。” 安東尼·阿拉德 （Antoine Allard） 如是說，他是來自位於魁北克的拉瓦爾大學的物理學家，博士後期間曾在巴塞羅那大學從事跨物種研究。

生於無底之夜的數學界叛徒，還真不賴。

參考文獻

Burleigh, A., Pepperell, R., & Ruta, N. (2018). Natural Perspective: Mapping Visual Space with Art and Science. Vision, 2(2), 21.

Navigable maps of structural brain networks across species. PLoS computational biology, 16(2), e1007584.

Zajaczkowska, A. (1956). Experimental test of Luneburg’s theory. Horopter and alley experiments. JOSA, 46(7), 514-527.

Zhou, Y., Smith, B. H., & Sharpee, T. O. (2018). Hyperbolic geometry of the olfactory space. Science advances, 4(8), eaaq1458.

Allard, A., & Serrano, M. Á. (2020). Navigable maps of structural brain networks across species. PLoS computational biology, 16(2), e1007584.

本文來自 微信公衆號：神經現實（ID：neureality） ，作者：Stephen Ornes（美國科學家、數學家），譯者：Orange Soda，審校：兜蟲，原文：https://www.discovermagazine.com/the-sciences/an-obscure-field-of-math-might-help-unlock-mysteries-of-human-perception