#平行四边形专题#各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆的综合题，涉及等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识。

一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：（初中数学综合题）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长．

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，求证：PE=PF．

知识回顾

平行四边形的判定和性质

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

性质：①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； ③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分.

判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

分析：（1）首先利用解直角三角形（或含30度角的直角三角形的性质）求出AB的长，再证明△OCB是等边三角形，然后根据条件得出∠AFB=90°，再推出AE=EB，利用直角三角形斜边中线的性质即可求线段EF的长．

（2）此处需要注意，第一小题中的条件∠BAC=30°在这里是不能用的。我们只能有效利用两个中点E和F，通过比例式推出平行线段相等。过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH，想办法证明四边形OEHF是平行四边形，根据对角线互相平分即可得结论．

请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（1）解：∵OE⊥AB于点E，∠BAC=30°，OA=1，

∴OE=1/2OA=1/2，

（利用解直角三角形或者含30度角的直角三角形的性质）

AE=EB=√3/2，

∴AB=AE+EB=√3，

∵AC是直径，

∴∠ABC=90°，

∴∠C=60°，

∵OC=OB，

∴△OCB是等边三角形，

∵点F是半径OC的中点，

∴BF⊥AC，

∴∠AFB=90°，

∵AE=EB，

∴EF=1/2AB=√3/2.

（2）证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．

∵∠FGA=∠ABC=90°，

∴FG∥BC，

∴△OFH∽△OCB，

∴FH/BC=OF/OC=1/2，

同理OE/BC=1/2，

∴FH/BC=OE/BC，

∴FH=OE，

∵OE⊥AB．FH⊥AB，

∴OE∥FH，

∴四边形OEHF是平行四边形，

∴PE=PF．（对角线互相平分）

（完毕）

这道题属于综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造特殊四边形解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。