各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆的解答题，涉及圆的知识，切线的判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识。

一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：（初中数学综合题）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）若点E恰好是AO的中点，求弧BF的长；

（3）若CF的长为1，求⊙O的半径长．

知识回顾

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

分析：（1）连接OD，由AC是⊙O的切线，可得OD⊥AC，结合条件证明OD∥BC，可得∠OBD=∠DBC，即可得出结论．

（2）连接DE，OF，证明△ODE，△OBF是等边三角形，再运用弧长公式即可解决问题．

（3）过O作OM⊥BC于M，则BM=FM，四边形CDOM是矩形.设圆的半径为r，则OA=6-r，BM=FM=r-1，先证明△ADO∽△OMB，再由比例线段可得出关于r的方程，解方程即可得出结果．

请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（以下过程可以部分调整）

（1）证明：如图1，连接OD．

∵AC是⊙O的切线，

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=90°，

∵∠C=90°，

∴∠ADO=∠C，

∴OD∥BC，

∴∠ODB=∠DBC，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠OBD=∠DBC，

∴BD平分∠ABC．

（2）解：如图1，连接DE，OF．

∵AE=OE=OB，AB=6，

∴AE=OE=OB=2，

∵∠ADO=90°，

∴DE=1/2OA=2，

∴DE=OE=OD=2，

∴△ODE是等边三角形，

∴∠DOE=60°，

∵OD∥BC，

∴∠AOD=∠OBF=60°，

∵OF=OB，

∴△OFB是等边三角形，

∴∠FOB=60°，

∴弧BF的长=60π×2/180

=2π/3．

（3）如图2，连接OD，过O作OM⊥BC于M，

则BM=FM，四边形CDOM是矩形，

设圆的半径为r，

则OA=6-r．BM=FM=OD-CF=r-1，

∵DO∥BC，

∴∠AOD=∠OBM，

又∠ADO=90°=∠OMB，

∴△ADO∽△OMB，

∴OA/OB=OD/BM，

∴（6-r）/r=r/（r-1），

解得r=3/2或2，

∴⊙O的半径为3/2或2．

（完毕）

这道题属于综合题，考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，运用转化的思想思考问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。