|作者：阮善明1,2, 安宇森3,4李 理3

(1 圓周理論物理研究所)

(2 滑鐵盧大學)

(3 中國科學院理論物理研究所)

(4 中國科學院大學)

本文選自《物理》2020年第12期

摘要黑洞信息佯謬作爲理論物理領域最著名的問題之一，長期以來一直被認爲是研究量子引力的重要途徑。黑洞信息佯謬的一個核心問題是給出在黑洞蒸發過程中的佩奇曲線行爲。近一年，對該問題的研究迎來了突破性進展。研究人員第一次在半經典引力框架下實現了對佩奇曲線的計算，表明黑洞在蒸發過程中信息可以被釋放出來，不存在信息丟失問題。文章將按照歷史發展的順序，對黑洞信息佯謬這一重要問題以及最新進展進行介紹，包括霍金輻射、佩奇曲線、全息原理、廣義熵、量子極端面和量子極端孤島等重要內容。

關鍵詞 黑洞信息佯謬，霍金輻射，AdS/CFT對偶，糾纏熵，廣義熵

黑洞信息佯謬，1975年由霍金 (Stephen Hawking)[1]最先指出，一般指的是對黑洞蒸發過程中是否丟失信息的爭論。一方面，基於半經典引力的黑洞蒸發理論顯示黑洞蒸發會丟失信息；但另一方面，信息守恆是基於量子理論的基本原理——幺正性得到的普適結論。這樣表面上顯然的衝突也使得黑洞信息佯謬成爲廣義相對論和量子理論這兩大基礎理論支柱交鋒的戰場。

圖1 左圖攝於1997年，圖中人物從左至右分別是普雷斯基爾、索恩和霍金；右圖是三位物理學家當時簽署的賭約(圖片來自網絡)

作爲理論物理中最爲出名的佯謬或者問題之一，黑洞信息佯謬一直是物理學家們用來打賭的重要對象。例如，加州理工學院的著名物理學家普雷斯基爾(John Preskill)就曾在1997年和霍金、索恩(Kip Thorne)以一本百科全書作爲賭注(圖 1)。前者堅信如果把一本百科全書扔進蒸發的黑洞，其中的全部信息仍然都可以被獲得，並沒有任何信息丟失。但是霍金和索恩一方認爲，百科全書的信息在黑洞蒸發過程中丟失了，最後留下的只是不含有任何有用信息的熱輻射。當然，物理學家並不是癡迷於賭博的賭徒，只是因爲黑洞信息問題一直是理論物理最熱門的研究方向之一。令人興奮的是，在過去一年，對這個問題的研究終於迎來了突破性的進展[2,3]。物理學家發現，黑洞內部的信息在其蒸發過程中被完全釋放出來，並不存在信息丟失的問題。爲了表彰領導這一系列研究的幾位青年物理學家，今年的新視野物理學獎也相應地授予了阿爾姆海里(Ahmed Almheiri)、恩格哈特(Netta Engelhardt)、麥克斯菲爾德(Henry Maxfield)和彭寧頓(Geoff Penington)，以表彰他們對理解黑洞和霍金輻射的信息熵所作出的傑出貢獻。雖然對於他們是否最終解決了黑洞信息佯謬的爭論仍然廣泛存在，但很多物理學家相信我們正在逼近這個問題的終點。本文將從黑洞信息佯謬的提出出發，逐步介紹各種背景工作以便讀者理解過去這一年裏所取得的進展。

1 霍金輻射與黑洞熵

通過從1907至1915年8年間的努力，愛因斯坦基於狹義相對論與等效原理構建了全新的引力理論：廣義相對論。廣義相對論的核心——愛因斯坦場方程是高度耦合的非線性方程，其求解是一個極爲困難的事情。令人驚訝的是，在廣義相對論提出後一個月，身處第一次世界大戰戰壕之中的施瓦西(Karl Schwarzschild)就得到了愛因斯坦場方程的第一個精確解，描述了真空球對稱情況的黑洞。後世爲了紀念他的貢獻，將其稱爲施瓦西黑洞解。而描述轉動情況黑洞的精確解直到47年後的1963年才被克爾(Roy Kerr)發現，由此也可見 求解愛因斯坦場方程的難度。在隨後的研究中，包括霍金在內的研究者證明了一個被稱爲無毛定理的結論，表明引力場與電磁場組成的任意系統中的黑洞解，只需要質量M、電荷Q、角動量J三個可觀測參數來描述。雖然塌縮形成黑洞的物質可能就像成千上萬本不同的百科全書一樣複雜，但是無毛定理卻表明黑洞本身極其簡單。形成黑洞的物質所攜帶的信息去了哪裏呢？一個簡單的想法是都被隱藏在了黑洞的內部。因爲黑洞的邊界，即事件視界的存在，使得外部觀測者無法看到這些複雜的信息，除了黑洞的質量、電荷、角動量這三個簡單的參數。正是對黑洞無毛定理的思考，啓發了貝肯斯坦(Jacob Bekenstein)對黑洞是否具有熵的探討。隨後霍金在1975年的發現證實了貝肯斯坦的想法。

在克爾黑洞被發現之後的70年代，逐漸迎來了黑洞研究的黃金時代。其中最具代表性的工作就是黑洞熱力學的發現。在經典熱力學中，存在四大定律。與之類似，巴丁(James Bardeen)，卡特(Brandon Carter)和霍金髮現黑洞也存在完全類似的四大定律。例如，熱力學第二定律表明孤立系統的熵不會隨着時間減少，與之對應地，黑洞力學第二定律指出黑洞視界的面積也不會隨時間減少(在滿足一定的能量條件下)。與熱力學四大定律類似的黑洞力學定律的發現似乎表明黑洞也是帶有一定溫度和熵的熱力學客體。黑洞具有熵的猜想，最早由貝肯斯坦在1972年提出。結合黑洞面積不減定理，他猜想黑洞的熵正比於其視界的面積。可是該猜想一直缺乏強有力的證據，因爲任何帶有溫度的物體都應該會產生相應的熱輻射，而黑洞的外部卻可以是一個沒有任何物質的真空。在1975年，對黑洞溫度的理解迎來了突破。霍金天才般地在包含黑洞的彎曲時空中引入了量子場論。不同於經典系統中空無一物的真空，量子的真空存在無處不在的量子漲落，會憑空產生正反虛粒子對。考慮這樣的量子效應，霍金髮現產生的粒子對中會有一個粒子被黑洞吞併，而另一個從黑洞的表面逃逸出來。因此黑洞並不是完全黑的，而是一直不停地輻射粒子出來。他進一步計算了這些輻射粒子的譜，並驚訝地發現和熱力學中的黑體譜完全一致[4]。霍金的這一發現不僅證實了黑洞是一個具有溫度的客體，也進一步揭示黑洞的熵正比於其視界的面積。黑洞的熱力學熵具體表述爲

其中A表示黑洞視界的面積，GN代表牛頓引力常數，c是真空中的光速，kB爲玻爾茲曼常數， 爲普朗克常數。這一簡潔優美的公式也被稱爲貝肯斯坦—霍金熵(Bekenstein—Hawking entropy)，可以看到，它把物理學中最重要的幾個基本自然常數聯繫起來，揭示了引力、熱力學和量子理論之間深刻的聯繫。爲了簡化公式，在後文中將採用自然單位制，相當於選取c =kB= = 1。

如前所述，霍金輻射的發現揭示了黑洞帶有溫度和熵的現象，但是也正是由於存在這樣的輻射，任何黑洞都會逐漸丟失質量，也就是必然會逐漸蒸發。緊接着，在1976年霍金髮表的文章[1]中，他考慮了黑洞蒸發帶來的問題。他表示如果黑洞最後完全蒸發了，我們就丟失了形成黑洞的最初那些物質的所有信息。而根據量子力學的基本原理，這意味着如果黑洞最開始由純態形成，到了其完全蒸發之後，我們得到的是一個混合態。你可能會好奇爲什麼信息不能被輻射的粒子一點點帶出來呢？因爲霍金輻射完全是黑體輻射，除了溫度，它們所具有的完全是隨機的信息，或者說霍金輻射本身並不帶有任何信息。這也似乎意味着在黑洞蒸發之後，收集這些熱輻射並不能重構出最開始形成黑洞的那些物質的信息。而這個關於黑洞是否丟失信息的問題在後續的討論中就逐步被統稱作“黑洞信息佯謬”。

霍金的文章發表之後，衆多物理學家顯示出極大的分歧，也相應提出了各種不同的方案來支持或解決黑洞信息問題。絕大多數的想法可歸納爲以下3種可能：

(1)信息丟失：就像霍金預言的那樣，在黑洞蒸發過程中量子態可以從純態演化到混合態，信息在這個過程中丟失了。值得注意的是，這意味着物理學家渴望的量子引力在黑洞蒸發的末期與量子力學的基本原理相違背；

(2)信息守恆：霍金輻射會逐漸將黑洞初態的信息釋放出來，並且在黑洞蒸發的最後回到純態，所以信息在這整個過程中是守恆的；

(3)蒸發殘餘：黑洞並不會完全蒸發，在它蒸發到一個普朗克尺度大小(普朗克長度約爲 1.6 × 10-35m)後，量子效應變得尤爲重要，使得黑洞停留在這個微小的尺度上，所有的信息都可以保留在這個微觀物體中。

2 佩奇曲線

在衆多尋求黑洞信息佯謬的解釋中，一直以來都缺乏強有力的計算來支持結論，因爲問題似乎依賴於在黑洞蒸發晚期量子引力的顯著影響。這導致擅長運用公式描述物理的理論物理學家在黑洞信息問題上缺乏有效的手段來量化問題。在霍金提出信息問題之後的二三十年間，似乎一直看不到解決問題的希望。物理學家越來越相信黑洞信息問題的解決要依賴於最終的量子引力的發現，對黑洞信息問題的追逐被認爲是間接理解量子引力的最佳方式。

就像衆多被黑洞信息問題困擾的物理學家一樣，霍金曾經的學生佩奇(Don Page)也一直在思考這個問題的答案。然而，與他的導師想法不同的是，佩奇認爲信息是可以從黑洞蒸發過程中逃逸出來的。但是這如何實現呢？就像前文所說，霍金輻射本身不攜帶任何信息，所以即使收集所有的霍金輻射，我們似乎也無法重構“那本百科全書”。但是佩奇認爲一個不能忽視的重要量子效應是量子糾纏。雖然霍金輻射本身似乎沒有任何信息，可是它們在整個系統中卻一直和黑洞內部的粒子(回憶一下，霍金輻射是一對真空漲落產生的正反粒子之一)相互糾纏，導致黑洞輻射的量子可以攜帶信息從黑洞中逃逸出去。描述兩個系統之間量子糾纏強弱的一個有效度量是量子糾纏熵SEE，也就是一個子系統代表的混合態所具有的馮諾伊曼熵(von Neumann entropy)。粗略來講，可以認爲混合態由一個矩陣ρ描述，ρ一般被稱爲密度矩陣。這樣一個密度矩陣的馮諾伊曼熵則可以定義爲

其中Tr表示求跡，也就是對矩陣的所有對角元素求和的操作。馮諾伊曼熵擁有許多漂亮的性質，例如，馮諾伊曼熵對於純態一直爲零，對於混合態一直大於零；如果兩個混合態可以組成一個純態，那它們的熵相等，這兩個子系統也被稱爲是互補的。

當黑洞形成，蒸發開始後，外部的霍金輻射和內部的配對粒子之間的糾纏熵從零開始逐漸增加，直到黑洞完全蒸發而相應的糾纏熵也達到一個極大值。這就是霍金計算得到的結果，對應於圖2中的綠色線。另一方面，我們知道黑洞的熱力學熵如公式(1)所示，是按照面積律變化。隨着黑洞不斷輻射，面積不斷變小，自然可以發現黑洞的熱力學熵逐漸減小，這就是圖2中藍色曲線所代表的結果。需要強調的是，熱力學熵是一種粗粒化(coarse grained)的描述，並不完全等價於馮諾伊曼熵。與之對應的馮諾伊曼熵則是一個細粒化(fine grained)的度量，來自於量子態精細的微觀結構，也就是密度矩陣。但是，熱力學熵仍然扮演着極爲重要的作用。在半經典近似中，我們可以認爲粗粒化的熱力學熵是所有可能的細粒化熵的上界。也就是說，黑洞熱力學熵一定不會小於對應的細粒化熵。如果相信黑洞和外部的霍金輻射組成的系統一直是純態，沒有丟失信息，那麼應該可以發現，這兩個糾纏的系統有一樣的馮諾伊曼熵。所以，量子力學要求如下的關係：

圖2 黑洞蒸發過程中3種不同的熵曲線。藍色線表示黑洞的熱力學熵，綠色線代表霍金計算的輻射熵。黑色曲線是佩奇曲線，也是量子力學基本原理所預期的結果。一般將佩奇曲線中的轉折點稱爲佩奇時間

然而這樣的普適性質似乎在圖2的曲線中被破壞了，因爲在黑洞蒸發的過程中，到達某一個時間點後，黑洞的熱力學熵竟然會小於霍金計算的輻射熵。

不同於在黑洞蒸發末期纔出現的黑洞信息佯謬，佩奇認爲在黑洞蒸發的中間過程，矛盾的結果已經產生。進一步，佩奇在1993年的研究中發現[5]，如果從量子力學的幺正演化出發，允許黑洞在蒸發中釋放而不丟失信息，那麼輻射或者黑洞的糾纏熵應該滿足另一條不同的曲線，如圖2中的黑色曲線所示。在蒸發的早期，糾纏熵符合霍金的預期應該逐漸增加，而在某一個時間之後(一般稱爲佩奇時間)，糾纏熵開始遞減至零，就像熱力學熵所描述的那樣。而這樣一條佩奇曲線可以認爲是量子力學基本原理所預期的結果，也就是黑洞不丟失信息時應該產生的結果。佩奇的計算給解決黑洞信息佯謬指出了一條明確的出路，那就是計算糾纏熵。可是，理想總是美好的，現實卻沒有那麼簡單，尤其在還沒有一個完備的量子引力情況下。因爲馮諾伊曼熵的定義顯然依賴密度矩陣的形式，而這是一個完全量子力學的概念，即便是在半經典近似中，都無法精確定義霍金輻射或者黑洞的密度矩陣。這樣的困難也導致在佩奇曲線提出之後的近30年中，對這條重要曲線的計算一直缺乏明確的進展。

雖然佩奇的曲線給出了與量子力學幺正性兼容的量子引力所應預期的結果，可是爲什麼物理學家偏愛尋找這樣的結果，而不是其他可能方案，例如承認信息丟失呢？量子引力中的幺正性或者黑洞不丟失信息的一個強有力的證據來自全息對偶的發現。

3 馬爾達西那的AdS/CFT對偶

前文介紹了黑洞熱力學熵，即黑洞熵和視界面積的關係。這樣一個面積律暗示，如果把黑洞看作一個量子系統，黑洞內部的全部信息似乎通過類似投影的方式投射在了低一個維度的全息面上，亦即黑洞的表面，事件視界。1994年，作爲弦論早期創始人之一的薩斯坎德(Leonard Susskind)受到黑洞熱力學的啓發，並結合霍夫特(Gerardus ’t Hooft，荷蘭理論物理學家，1999年獲得諾貝爾物理學獎)的早期想法提出了全息原理[6]。他猜測量子引力或弦論中一個d維的空間中，量子態的所有信息可以等價地編碼於其邊界上(d-1)維的面上，就像全息投影一樣。

薩斯坎德的全息原理，描繪了一種宏偉的令人着迷的可能性，卻也似乎更接近於猜想。直到1997年末，一篇影響深遠的文章打開了量子引力的新大門[7]。故事的主角是出生在阿根廷，當時年僅29歲的物理學家馬爾達西那(Juan Maldacena)和他的AdS/CFT對偶。當時剛剛在哈佛獲得副教授的馬爾達西那發現，超弦理論中一個5維彎曲時空(另外還有5維空間是緊緻化的)中的引力理論和其邊界上一個不含有引力的4維時空中的量子場論是完全等價的。在後續的研究中，馬爾達西那的發現被逐漸推廣爲AdSd+1/CFTd對偶，其中左邊的 AdS 代表一個標量曲率爲負數的(d+1)維時空，即反德西特(anti-deSitter)時空，而右邊的CFT則代表等價的d維時空中的共形場論(Conformal Field Theory)。AdS/CFT對偶這樣一個高維引力理論與其邊界上低維量子理論的等價恰恰完美地實現了全息原理的思想，如圖3所示。值得注意的是，反德西特時空的無窮遠邊界有着完全不同的結構，就像是一堵無形的牆(圖3(a)中的藍色線)。這是由於AdS時空中的曲率爲負數，所以相較於我們生活的宇宙，AdS更像是一個放在瓶子中的宇宙。

圖3 (a)含有永恆黑洞的(d+1)維反德西特時空的彭羅斯圖。在時空無窮遠的邊界，即藍色線所代表的區域，含有d維共形場論；(b)AdS/CFT示意圖(圖片作者Alfred Kamajian)

AdS/CFT的魅力不僅僅是實現了全息原理，更重要的是它提供了一種全新的工具來研究量子引力或者量子場論。因爲對偶的兩邊是完全等價的，這意味着任意一邊的物理現象都應該可以等價地被另一邊所描述。當你發現對某一邊的理論研究寸步難行，它卻可能在其對偶的理論中很容易實現。這也是爲什麼AdS/CFT可以成爲近20年來理論物理領域最強大工具的原因。

回到黑洞信息佯謬本身，雖然物理學家對黑洞信息的命運充滿爭論，可是如果我們考慮一個AdS中黑洞的演化，等價地，這一演化應該可以在邊界CFT中被等效地描述。雖然不知道完整的量子引力是什麼，CFT卻是基於量子力學的量子場論。這意味着在邊界CFT中信息是不會丟失的。運用AdS/CFT對偶，我們很自然得到AdS時空中的答案：信息不會丟失，黑洞的演化也一定是和量子力學的基本原理兼容的。然而，AdS/CFT提供的只是答案本身，而且也僅限於滿足全息原理的引力理論。更一般地，我們仍然不能直接計算霍金輻射的糾纏熵。

4 Ryu—Takayanagi的全息糾纏熵

不同於計算霍金輻射的糾纏熵，對一般量子場論糾纏熵的全息計算最先迎來了突破，而其中的核心就是AdS/CFT。糾纏熵，作爲量子糾纏的度量，長期以來一直是量子信息領域極爲重要的研究對象。類似於兩個糾纏的量子比特，我們可以考慮存在於一個空間內的量子場論，將其分成A，B兩個子區域，如圖4中藍色和紅色區域所示。A，B兩個子區域所對應的量子態也是相互糾纏的。但是與量子比特組成的有限維體系不同的是，量子場論中的體系一般是無窮維的。這樣的差異，也導致無法通過定義密度矩陣的方式直接計算量子場論體系中的糾纏熵。

圖4 Ryu—Takayanagi的全息糾纏熵。邊界上紅色子區域A的糾纏熵可以被AdS中一個以A爲邊界的最小面的面積描述

依據AdS/CFT的思想，如果考慮一個對偶於AdS時空的量子場論，那麼應該可以通過引力理論的計算得到邊界上A，B區域之間的糾纏熵。對全息糾纏熵的突破來自於兩位日本物理學家，笠真生(Shinsei Ryu)和高柳匡(Tadashi Takayanagi)。2006年，他們在物理評論快報(PRL)上發表了一篇5頁的文章[8]，Ryu和Takayanagi猜測，邊界量子場論中的A，B區域之間的量子糾纏熵等價於高一維的引力理論中最小面的面積，亦即

其中Area表示“體”中一個面的面積，而“Min”表示尋找所有以子區域A爲邊界的面中面積最小的那一個，而這個擁有最小面積的特殊面也被稱爲最小面。細心的讀者應該發現，Ryu和Takayanagi所提出的猜想非常類似黑洞的熱力學熵，只是這裏計算的不再是黑洞視界的面積，而是最小面的面積，當然具體最小面的位置依賴於所選取邊界上子區域A的大小、位置、形狀等細節。因爲後續的研究中，這個猜想被基本證明(忽略次一級的小修正)，所以一般把這個幾何化的公式叫做RT公式。RT公式的美妙之處不僅是將邊界場論中對糾纏熵的計算轉化成“體”中一個簡單的面積公式，更重要的是聯繫了量子信息與時空幾何，而這也成爲了“It From Qubit”[9]研究計劃的開端。

與黑洞熵類似的是，RT公式所描述的糾纏熵也是一個非常大的量，因爲分母上的牛頓常數描述了引力理論中的耦合強度，是一個非常小的參數。雖然RT公式通過了許多檢驗，可是很容易理解它其實只給出了領頭階的結果，而忽略了次級的修正項。從一個完整量子引力的角度出發，RT公式的結果其實只依賴於時空的經典幾何，這意味着它忽略了量子修正的微小貢獻。於是在2013年，福克納(Thomas Faulkner)、萊科維奇(Aitorn Lewkowycz)和馬爾達西那指出[10]，RT公式忽略的下一級修正正是來自於最小面所包裹區域內的那些量子場所產生的馮諾伊曼熵。爲了區別，包含了量子修正的糾纏熵被稱作廣義熵。更進一步，恩格哈特與沃爾(Aron C. Wall)在2014年發現[11]，除了考慮量子修正的影響，也需要考慮廣義熵對最小面的影響。因爲真正需要計算的面積不再是面積最小的面，而是使得廣義熵最小的那個特殊面，也稱之爲量子極端面。就像名字所顯示的那樣，我們可以認爲最小面只是量子極端面在經典極限下的近似。總結來說，可以把恩格哈特與沃爾所提議的半經典的廣義熵公式表述爲

其中等式右邊除了第一項面積，第二項表示來自極端面到邊界之間子區域內所有量子場貢獻的馮諾伊曼熵，可以看作是微小的量子修正項。爲了顯示量子極端面的特殊性，我們將其分成兩步，第一步“Ext”表示需要發現極端面X，使得這些面上的廣義熵都處於極端值中；第二步，在所有極端面X中，“Min”表示尋找其中使得廣義熵最小的那一個。值得強調的是，雖然第二項相比於領頭階的面積項只是一個極其微小的量子修正，但是仍然可以導致量子極端面偏離最小面非常遠。而這也是解決黑洞信息佯謬，獲得佩奇曲線的關鍵。

5 蒸發黑洞的玩具模型

前面的內容已經介紹了計算糾纏熵的基本工具，至少在AdS時空中，看起來應該可以檢測一個蒸發黑洞的熵是否真的滿足佩奇曲線了。可是問題卻沒有那麼簡單。雖然在AdS時空中，可以藉助強大的AdS/CFT作爲工具，可是與現實時空或者漸近平直時空不同的是，AdS時空的邊界就像是一堵無形的牆，可以將輻射不停地反射回AdS時空中，這導致無法在AdS時空中實現黑洞從形成到蒸發的過程。例如圖3(a)顯示了AdS時空中黑洞的彭羅斯圖，這樣的黑洞也被稱爲永恆黑洞，因爲即使經過無窮的時間之後，黑洞也依然存在着，並維持着同樣的溫度。

圖5 二維AdS時空中的蒸發黑洞模型。右邊的時空是半個二維平直時空，代表一個溫度爲零的冰箱。在粘合了左右兩個時空之後，黑洞將不斷蒸發，溫度逐漸降低

如何在AdS時空中構造一個溫度不斷減小的蒸發黑洞呢？答案其實非常簡單：將黑洞放在一個冰箱裏，使其不斷降溫。最先實現這樣構造的是阿爾姆海里、恩格哈特、馬洛夫(Donald Marolf)、麥克斯菲爾德(後面簡稱AEMM)。他們在2019年5月的一篇文章中[3]，考慮在二維引力理論中，通過將右側的黑洞與半個平直時空相粘貼，構造了一個完全可解的二維蒸發黑洞模型(圖5)。這相當於將AdS右側的邊界打開，因爲黑洞是具有一定溫度的，而右側無引力區域(“冰箱”)的溫度爲零，所以根據熱平衡，很容易發現黑洞會通過向右側時空不斷釋放霍金輻射而不斷蒸發，不斷降溫。當然，更爲重要的是AEMM的計算發現，通過量子極端曲面計算黑洞的熵，得到的曲線就是佩奇所預言的曲線。在經過佩奇時間之後，他們的結果顯示熵不再增加，而是不斷減小。在忽略量子修正時，面積項的貢獻來自最小面，如果一直使用最小面計算熵，最後得到的就是圖2中霍金髮現的結果：熵隨着時間增加。但是AEMM發現，量子極端面只在早期和最小面重合，在黑洞蒸發過程中，會在某一時間之後跳躍到另一個面上，亦即圖5中綠色區域所表示的面。通過量子極端面，他們發現蒸發黑洞的熵在經過這次轉變之後開始隨着時間減小，就像佩奇所預言的曲線那樣。這意味着，AEMM模型中蒸發黑洞經歷的演化其實是符合量子力學要求的幺正演化，黑洞內部的信息可以逃逸出來，蒸發的黑洞並不會丟失任何信息。所以，霍金的黑洞信息佯謬已經有了明確的答案。在AEMM文章出現的同時，斯坦福大學的博士生彭寧頓也意識到了廣義熵和量子極端面在黑洞蒸發中的重要作用。於同年同月獨自發表的文章中[2]，他通過研究高維漸近AdS時空中的蒸發黑洞也得到了與AEMM類似的想法和結論。

6 量子極端孤島

雖然在AEMM的模型中，實現了對二維AdS蒸發黑洞的熵計算，但是一個懸而未決的問題是，如何計算霍金輻射的糾纏熵。另外，讀者也很容易意識到，AEMM模型是建立在AdS/CFT之上的，所以整個系統本身就暗含了幺正性。在沒有AdS/CFT的漸近平直時空，或者類似現實宇宙的漸近德西特時空中，黑洞信息問題又該如何解決呢？

這些問題很快就得到了解答。在2019年8月緊接着AEMM的文章，阿爾姆海里和同樣在普林斯頓高等研究院的馬哈詹(Raghu Mahajan)、馬爾達西那和趙穎(Ying Zhao)合作提出[12]，可以通過一個類似廣義熵的、被稱爲“孤島公式”(Island formula)的式子來計算霍金輻射的糾纏熵：

其中領頭階是孤島邊界的面積項，類似愛因斯坦引力中的貝肯斯坦—霍金熵，而第二項表示量子場的馮諾伊曼熵。這其中最爲關鍵的是，量子修正部分中不僅僅考慮了輻射部分的貢獻，同時也需要考慮另一個完全孤立部分的熵：量子極端孤島。他們提出的公式受到了黑洞廣義熵的啓發，其中量子極端孤島的邊界就是量子極端面，這也是量子極端孤島的名字中前綴部分的由來。接下來讓我們解釋爲什麼這是一個“孤島”。

圖6 一般的蒸發黑洞的彭羅斯圖。黑色陰影區表示塌縮物質區域，黃色虛線表示截斷面，紅色虛線代表黑洞視界(a)蒸發的早期，佩奇時間之前，輻射糾纏熵不斷增加；(b)佩奇時間之後，與輻射不相連的量子極端島出現在黑洞內部，輻射的糾纏熵隨時間遞減

考慮一個正在蒸發的黑洞，如圖6所示。根據AEMM模型的經驗，可以通過量子極端面來計算黑洞的廣義熵，這其中量子修正部分的貢獻來自黑洞外部區域(圖6中的灰色區域)量子場的貢獻。而當轉而考慮霍金輻射的熵時，實際考慮的是與黑洞互補的部分。根據馮諾伊曼熵的互補性，這時需要考慮的熵來自與灰色區域互補的區域，即內部區域(圖6中的紅色區域)。而在蒸發中後期，由於量子極端面的出現，可以發現，這時內部區域包含了完全不相連的兩片區域，其一是收集了霍金輻射的區域，另一部分則完全處於黑洞內部，也就是被稱爲量子極端孤島的區域。正是由於量子極端孤島與輻射區域完全不相連，就像是大海中的孤島一般，這才因此得名。由於量子極端孤島的出現，霍金輻射的糾纏熵開始隨着時間遞減，而不是霍金所計算的那樣隨時間逐漸增加。利用全新的孤島公式，研究人員得以更正了霍金43年前計算中的不足，進而發現蒸發黑洞中霍金輻射的糾纏熵完全滿足佩奇曲線。

圖7 雖然黑洞內的量子極端孤島與輻射在它們所在的時空沒有物理地連接在一起，可是卻通過更高一維度的全息時空連接，類似於 ER = EPR 的思想

雖然量子極端孤島和黑洞外部的輻射區域沒有任何連接，可是在黑洞蒸發的中後期卻突然湧現在黑洞內部，並與外部的輻射相互糾纏。而這樣一種物理圖像(圖7)恰好說明了一個更爲激進的猜想：ER = EPR 。早在2013年，薩斯坎德和馬爾達西那猜測[13]，兩個粒子之間的相互糾纏可以解釋成兩者之間通過一個蟲洞相連。這個猜想的左邊指的是愛因斯坦—羅森橋(Einstein—Rosenbridge)，亦即蟲洞，而等式的右邊是愛因斯坦—波多爾斯基—羅森(Einstein—Podolsky—Rosen)三人名字的首字母，暗指量子糾纏。 ER = EPR 猜想驚人地闡述了量子力學和時空幾何之間的潛在聯繫。雖然猜想的證明似乎仍然遙不可及，但是神奇的量子極端孤島的出現，從某程度上正說明了 ER = EPR 的思想。更重要的是，雖然孤島公式受到了全息理論中黑洞廣義熵的啓發，可是這個創新的公式卻不依賴於AdS/CFT，而是可以推廣到更一般的與引力耦合的物質系統。在研究量子場論系統中的糾纏熵或者馮諾伊曼熵時，理論物理學家並不是按照公式(2)直接計算密度矩陣的跡，因爲所遇到的將是一個無窮維的矩陣！一種標準的工具是通過將密度矩陣表示爲路徑積分形式，再利用“拷貝技術”(replica trick)和解析延拓來計算。等價地，公式(2)的定義可以寫成

這裏的“拷貝”指的是並不直接計算公式(2)，而是在公式(7)中通過拷貝n個重複的部分，再取n= 1的極限。一般來說，量子引力系統的路徑積分無法準確地計算，而且在計算n個拷貝的路徑積分中，也存在無數種不同的拓撲來連接n個部分。但是研究人員發現[14,15]，如果將n個拷貝完全連接則可以得到與量子極端面相同的答案。而霍金曾經的計算方式則類似於只考慮完全不相連的那一種可能。這樣，量子極端面，或者量子極端孤島的出現，可以解釋成在路徑積分中不連通相到連通相之間的轉變。這樣一種全新的鞍點也被稱爲“拷貝蟲洞”(replica wormhole)。更一般地，研究人員還可以在2維引力下得到考慮了所有可能的連接n個部分的平面拓撲求和後的結果[15]，通過解析的求解施溫格—戴森方程(Schwinger—Dyson equation)，得到精確的佩奇曲線行爲，並發現在佩奇轉變發生的地方，熵有一個較大的修正使得轉變是連續過渡的。感興趣的讀者可以進一步參考文獻[14—16]。

7 佯謬被徹底解決了嗎？

通過這一系列的工作，霍金的黑洞信息佯謬或許不再被稱爲佯謬。在蒸發黑洞中，物理學家終於實現了佩奇曲線的計算，不僅僅是對黑洞熵，還有霍金輻射的糾纏熵。這意味着爭論了半個世紀的問題有了明確的答案：黑洞蒸發過程中，信息會被釋放出來，正如量子力學要求的那樣，沒有任何信息的丟失。在成功的同時，也伴隨着許多爭論與困惑。比如，雖然幺正性是量子力學的基本要求，但是至今所有的討論都侷限於半經典的引力理論。爲什麼在半經典理論中仍然可以看到幺正性，這本身是一種“奇蹟”，卻似乎也是一個問題。另一方面，物理學家對信息從黑洞逃逸的方式仍然是一無所知，對於霍金輻射所代表的量子態也依然一無所知，對黑洞蒸發的末期也缺乏有力地預言，而這些或許我們很快就會得到答案，或許只有等到量子引力被發現的那一天，所有問題的答案纔會逐漸浮出水面。

參考文獻

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原題目：黑洞信息佯謬

來源：中國物理學會期刊網

編輯：aloysius