各位关注数学世界的朋友，大家好！数学世界将为大家分析和讲解初中数学中与圆有关的综合题，笔者希望通过对习题的解析，能够为广大初中生学习相关的数学知识提供一些帮助！

长期关注数学世界的朋友都知道，数学世界一直都是精心挑选有代表性的数学题分享给大家，希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣，并能给广大学生学习数学这门课程提供助力！

今天，数学世界分享一道与圆有关的解答题，涉及切线的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及扇形面积的计算等知识。下面，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：（初中数学综合题）如图，已知AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若∠BAC=30°，AB=4，求阴影部分的面积．

知识回顾

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

垂径定理推论:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）（1）证切线则需要连接OC，连接BF，证明BF∥CE，接着证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF，推出阴影部分的面积和扇形COF的面积相等，求出扇形FOC的面积，即可得到阴影部分的面积．

解：（1）连接BF，OC，（作半径证垂直）

∵AB是⊙O的直径，

（直径所对的圆周角是90°）

∴∠AFB=90°，即BF⊥AD，

∵CE⊥AD，

∴BF∥CE，（平行线的判定）

∵点C为劣弧BF的中点，

（平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦）

∴OC⊥BF，

∵BF∥CE，

∴OC⊥CE，（平行线的性质）

∵OC是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线；

（2）连接OF，CF，（出现扇形FOC）

∵OA=OC，∠BAC=30°，

∴∠BOC=∠OAC+∠OCA=60°，

（三角形的外角定理）

∵点C为劣弧BF的中点，

∴弧FC＝弧BC，

（等弧所对的圆心角相等）

∴∠FOC=∠BOC=60°，

∵OF=OC，

（此处运用了等边三角形的判定和性质）

∴∠OCF=60°=∠BOC，

∴CF∥AB，

∴S△ACF=S△COF，（同底等高的三角形）

∴阴影部分的面积=S扇形COF，

∵AB=4，

∴FO=OC=OB=2，

∴S扇形FOC=60/360×π×2^2=2π/3，

即阴影部分的面积为2π/3.

（完毕）

这道题是关于圆的综合题，具有一定难度，但仍属于应该掌握的内容，考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及扇形面积的计算等知识，解题的关键是将阴影部分的面积进行转化。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。