各位关注数学世界的朋友，大家好！数学世界将继续为大家分享初中数学中有关圆的综合题，笔者希望通过对习题的分析与讲解，能够为广大初中生学习相关数学知识提供一些帮助！

一直以来，数学世界都是精心挑选一些数学题分享给大家，希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣，并能给广大学生学习数学这门课程提供助力！

今天，数学世界分享一道关于圆与相似三角形的解答题，涉及了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，特殊直角三角形的性质等知识。下面，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：（初中数学综合题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求CF的长．

知识回顾

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度。

分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）（证切线，连半径。连结OD，只需证得OD⊥ED，即证得DE是⊙O的切线）

证明：如图，连接OD，AD，

∵AC是直径，

∴AD⊥BC，

又∵在△ABC中，AB=AC，

（等腰三角形“三线合一”）

∴BD=CD，

又∵AO=OC，（三角形中位线定理）

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥OD，

∵OD为⊙O半径，（圆的切线的判定）

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为2，AB=AC，

∴AC=AB=4，

∵BE=1，

∴AE=AB-BE=3，

过O作OH⊥AB于H，

则四边形ODEH是矩形，

∴EH=OD=2，

∴AH=AE-EH=1，

∴AH=1/2AO，

（在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度）

∴∠AOH=30°，

∴∠BAC=60°，∠F=30°，

（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

∴AF=2AE=6，

∴CF=AF-AC=2．

（完毕）

这道题是关于圆的综合题，考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，特殊直角三角形的性质等知识。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。