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一股黏度達到水的20倍的硅油垂直落在水平面上。我們可以觀察到圓形的水躍。（圖片來源：Alexis Duchesne）

當水流流入水槽，我們很容易觀察到，水流周圍會形成一個圓環狀結構——環形水躍。出人意料的是，500年來，這個看似簡單的現象從未得到一個完整的解釋。直到最近，科學家終於得以建立水躍現象的模型。更加令人驚訝的是，除了幫助理解其流體力學過程，環形水躍還能讓我們更好地認識超新星爆發等天文學現象。

撰文 | 亞歷克西·杜歇納（Alexis Duchesne）

翻譯 | 戚譯引

你有沒有試過在洗漱完畢之後，讓水龍頭再開一會兒？這當然不太環保，卻能讓你觀察到一個有趣的現象：水流抵達水槽底部並擴散開來，在碰撞點周圍形成一道薄薄的水膜。隨後由於這種徑向擴散，加上水與水槽表面之間的摩擦，水膜的擴散越來越慢。但出人意料的是，一種劇烈的轉變發生了：當水膜很薄而且速度很大的時候，它的厚度將驟然增加500倍，速度也下降至1/500。水流的這種狀態轉變體現爲一道“水牆”，即由液體構成的環形。這就是環形水躍現象。

即使我們很熟悉這一現象的存在，水躍的出現仍然令人驚奇，因爲它違背了從亞里士多德到牛頓的一代代物理學家和哲學家的認知，而萊布尼茨甚至將這一認知提煉成一條公理，即“自然界無跳躍”（Natura non facit saltus）。這一原則又叫連續性原理，它假設事物通常以循序漸進的方式發展，十分符合直覺，而且往往是有價值的。但是在水槽裏，我們看見的就是一個跳躍現象，而不是液麪的連續抬升。

很長時間以來，這道水牆似乎沒有過多地困擾那些學者。直到16世紀，萊昂納多·達·芬奇（Léonard de Vinci）才第一次對水躍進行了描述。他在筆記中寫道：“圓形水管流出的水垂直落到一個平坦的表面上，會在撞擊點周圍形成一道圓形的波紋；在圓圈內部，水的流動很快，在撞擊點周圍形成一道薄薄的水膜，然後一躍而起產生了浪，外部的水又試圖回到撞擊點。”

用現代的語言來說，達·芬奇所描述的水躍就像一道衝擊波。在物理學家看來，這一現象源於流體擴散速度和重力波之間的競爭。重力波是在流體表面擴散的波紋，重力和流體的高度決定了波長和擴散速度。

在水躍的內部區域（靠近水流處），重力波擴散的速度小於流體擴散的速度，因此被水流帶着向前傳播；而在外部區域，水的高度增加，流速減緩，重力波擴散的速度大於流體的速度。受到外部擾動或反射，例如水流遇到水槽邊沿的時候，重力波的影響變得可以忽略不計。因此，水躍被視爲這樣一個區域：從邊緣地帶（水槽邊或水膜的終點）釋放的重力波，即抬高流體的力量，再也無法回到峯值，因爲重力波“遇到”了一股流速過高的流體，無法繼續傳播下去。

圖片展示了水槽裏的環形水躍

在500年後的今天，我們能不能斷言水躍問題得到了解答？如今，仍然沒有一個得到一致認可的模型，能夠基於系統參數（流量、流體性質、液柱直徑等）預測一些基本性質，例如水躍的半徑。但是在這段時期，科學家們取得了一些重要的進展。我們對這種現象的發生機制和重要性有了更深刻的理解，水躍現象甚至成爲了模擬其他一些現象的建模工具。

巨浪：環形水躍的“大哥”

在達·芬奇之後的300多年間，學者們似乎對環形水躍現象的機制不太感興趣。我們沒有發現相關的記載，直到19世紀，法國醫師、物理學家菲利克斯·薩瓦爾（Félix Savart）才觀察並描繪了這一現象，但他沒有嘗試進行深入的研究。學界對水躍重新產生興趣，要歸功於18世紀之後的大量關於巨浪的研究，這一現象算得上環形水躍的“大哥”。

這種類型的水躍現象廣泛出現在江河中，其特徵是水流中掀起一股或高或低的浪。這種浪潮將水流分成兩個區域，一個是位於高處，水流湍急的區域，水的流速大於重力波傳播的速度；另一個是低處的水流平靜的區域，重力波傳播的速度大於水流的速度，因此更容易將水流抬升到高處。

巨浪指的是水流中發生的水躍，例如法國聖帕爾東地區附近多爾多涅河谷中的浪。

當潮汐發生時，河口處水位的急劇變化就引發了巨浪。潮汐越是迅疾、強勁，浪也就越大。潮汐產生的重力波傳播到高處，遇到湍急的水流，產生了衝擊波。

通過改變地形和控制河流流量，我們可以調控巨浪的強度，甚至阻止其形成。如果說巨浪可以被視爲移動的水躍，我們也能在自然界中觀察到靜態的水躍，例如瀑布落下，或是大壩泄洪的時候。

自從18世紀末起，工程師和物理學家對巨浪產生了興趣。意大利工程師喬治·比多內（Giorgio Bidone）將水躍視爲一種抬升灌溉用水的方式。

繼比多內之後，法國水利學家讓-巴蒂斯特·貝朗日（Jean-Baptiste Bélanger）成了第一個對撞擊點進行理論分析的人。1846年，貝朗日發表了一個方程。這個方程建立在流體流動過程中的動量守恆和水躍中不同部分的流量守恆之上。通過這種方式，他提出了第一個“衝擊條件”，調和了上游和下游的數學描述。在同一時期，法國水利學家亨利·達西（Henry Darcy）和亨利·巴贊（Henry Bazin）利用在水渠進行的實驗，證實了衝擊理論。如今這一理論仍然是水躍建模的根基，無論水躍發生在河流還是水槽中。

英國物理學家瑞利男爵（Lord Rayleigh）首先將運河中的水躍現象和水槽中圓形的水躍聯繫起來。1914年，他重複了貝朗日提出的衝擊條件，並將其應用於圓形水躍。在這種情況下，衝擊條件再次得到了實驗驗證。但是在某些情況下，理論預測的水躍半徑卻比實際觀察到的大了數十倍。

慣性流與層流

物理學家發現，必須考慮水躍內部的流體黏度，才能更準確地描述流體的運動，計算衝擊半徑。摩擦力越大，流體的運動就越困難，也就是說黏度更大。當我們分別在蜂蜜、油和水中攪動勺子，就能感受到這種差異。油的黏度大約是水的100倍，而蜂蜜的黏度大約是油的100倍。

在流體運動中，我們可以觀察到慣性流，這時流體黏度可忽略，機械能守恆；另一種情況是層流，這其中黏度的作用要大得多。在後一種情況下，系統機械能中有不可忽略的一部分轉化爲熱能。回到流體中攪動勺子那個案例，當你在蜂蜜中攪動勺子的時候，僅有勺子周圍的流體會流動，你注入系統的能量幾乎立即以熱量的形式耗散。這就是粘稠流體的流動。

而當你在水中攪動勺子的時候，就得到了慣性流。最終整個流體都會運動起來，直到你投入的能量在邊界層處耗散。

對於在固定固體平面上（如水流周圍的水槽表面）的慣性流，與平面表面接觸的流體粒子速度爲零。隨着與平面距離的增加，流體粒子的速度急速上升。在平面上方很薄的液麪處，流體粒子的速度與流體其他部分的速度基本相同，這裏被定義爲邊界層。

邊界層的存在完善了水躍模型，因爲在水流剛剛落下的地方，流體基本是慣性流動；隨後邊界層逐漸形成，最終隨着我們遠離水流撞擊點，邊界層完全延伸開來，形成一個較薄的水層。而在邊界層下方，流體速度很小，黏度佔據主導地位，這一區域中便會出現層流。而由於這層流體中的摩擦力較大，水流越來越緩慢，使得水層最終變得更厚，吞沒了邊界層。由於此時黏度可以忽略，邊界層消失，流體不斷變薄，因爲它會保持速度不變並朝各個方向徑向展開。

因此，當流體黏度較大的時候，我們會觀察到較小的水躍半徑。瑞利男爵的模型並未考慮這種效應。1948年，日本物理學家谷一郎（Itiro Tani）首次對這種黏稠的邊界層進行了建模。

接下來，英國物理學家埃裏克·沃森（Eric Watson）在1964年提出了水躍研究中最完善的理論之一。這一模型的獨創性在於，它將內部區域（水牆之前）劃分成許多個不同部分（水流撞擊部分、邊界層發展部分，以及邊界層全面入侵液麪的區域）。他的方程很好地描述了水膜的厚度隨注入水流的距離變化的函數關係。

但這一理論仍然不完善，它僅僅描述了水躍內部的情形，而沒有提供水躍外部的信息。爲了計算半徑，我們必須將滿足“貝朗日條件”的衝擊和模型聯繫起來，還要知道在緊鄰水躍發生處的液麪高度。但是由於測量這一高度比直接測量水躍半徑更加困難，這個模型在預測方面的作用很小。

尋找完善的模型

1993年，丹麥科技大學的托馬斯·玻爾（Tomas Bohr）和同事們終於對水躍外部區域進行了建模。玻爾的父親和祖父都是諾貝爾物理學獎得主。玻爾等人藉助“貝朗日條件”將水躍的內部和外部區域聯繫起來，用同一個方程（稱爲“潤滑方程”）對這兩個區域進行建模，完善地描述了問題。藉助這些方程的一個數值解，他們得到了第一個理論定律，能夠根據系統參數（流體的流量、黏度和密度等）預測水躍半徑。

因此，科學家花了超過500年，才發展出第一個令人滿意的水躍模型。這個進展可以說是巨大的，儘管我們僅僅“解決”了流體垂直落到平面上然後自由流動這一簡單的情況。我們還無法研究流體傾斜流下，或流到像水槽那樣具有邊沿的平面上的情況。實際上，我們纔剛剛開始理解這一現象，還未觸及問題的複雜之處……

尤其是，我們還沒有在物理學層面理解水牆爲什麼會產生。托馬斯·玻爾的流體力學模型使用描述內部和外部區域特徵的假設預測水躍的位置，證明在某個特定的半徑（即我們觀察到水躍的地方），這兩個區域的方程的數學解就不再是實數。換言之，模型預測內部區域到外部區域之間的轉變必然發生，但是它完全沒有解釋轉變的性質。如果這兩個區域之間用一條緩和的斜坡連接，與模型也是兼容的。

圖片依次爲流速較快且液麪較薄的內部區域、水躍、流速較慢且液麪較高的外部區域。

模型在描述上的限制和解釋能力的缺失，已經體現在文章開頭提到的波動力學方法對重力波向水流高處傳播的描述中：在這一情況下，我們假設波在水牆上傳播的過程中發生了狀態轉變，但這堵牆的形狀並不是固定的，尤其是高度。貝朗日條件描述了這種高度的改變，但它的作用僅限於描述，無法進行預測。

一些科學家認爲，液體牆是因爲邊界層分離而構成的。還有人認爲，我們可以用不穩定性爲水牆建模：在內部區域，超過了某個特定半徑之後，重力不再可忽略。這時水膜逐漸增厚，流體速度減緩，表面輕微向上傾斜。重力對這一表面施加了外部限制，約束了流動。流速繼續減緩，表面繼續向上延伸，重力的影響也在不斷增加，以此類推。結果就是在這種不穩定機制的作用下，我們得到了一道幾乎豎直的坡，也就是水躍。

形態各異的水躍

2014年，我和位於巴黎的物質與複雜系統實驗室的呂克·勒邦（Luc Lebon）和勞倫·利瑪（Laurent Limat）一同開展實驗，爲水躍的理論解釋提供了重要線索。通過精確測量緊鄰水躍發生處的液麪高度，我們證明了對所有的水躍，這一區域的弗勞德數（慣性和重力影響的比值）是恆定的。

對於這個普遍性質，目前還不存在理論解釋，但它應該和前面提過的重力不穩定機制是相容的。這並不令人驚訝，因爲水躍正發生在重力作用開始變得不可忽略的地方。弗勞德數描述重力和慣性的局域影響的比值，對於所有的系統，它在這個點上的數值完全相同，與系統性質無關。並且，由於衝擊條件，我們會在水躍剛剛發生的地方得到一個“通用”的弗勞德數。

表面張力的作用

此外，結合對水躍外部區域的精細建模，我們得以精確計算水躍的位置。最終，我們不需要對內部區域的水流進行任何假設，就得到了這個結果。多個理論物理學團隊正在研究弗勞德數是否爲恆定的，並嘗試在方程中重現這一實驗觀察結果。因此，我們可以期待在未來幾年中看到關於這個課題的重大突破。

如果說黏度發揮了重要作用，那麼另一個在這個尺度上發揮重要作用的物理量——表面張力呢？在流體的表面，例如水和空氣之間的界面，表層水分子之間的結合力和內部的情況不同，它傾向於最大程度地減小界面的面積。舉例來說，這解釋了雨滴爲什麼接近球形。

在大多數現有的水躍模型中，表面張力完全缺席。然而到了2018年，劍橋大學的拉傑什·巴加特（Rajesh Bhagat）和保爾·林登（Paul Linden）提出了一個新的模型，表明表面張力在水躍的形成過程中發揮了關鍵作用。這個結果看起來很好地調和了理論和實驗。但在2019年，我和玻爾的團隊一同提出，他們的模型可能建立在一個不可靠的假設之上。表面張力究竟扮演了怎樣的角色？看起來我們離解決這個問題還很遙遠。

最後這個轉折正體現了這樣一個事實：這場持久的激烈爭論，只爲解答這個看起來如此平凡又簡單的問題。你洗碗的時候也可以看一看，你家水槽裏的那個小圓圈到底有多大？

從水槽到中子星

儘管這個現象並不起眼，它卻讓我們得以深入理解那些和水躍毫無關係，尺度也要大上許多的事物。在天體物理學領域，我們將水躍現象應用到尺度要大上百萬倍的現象中。2012年，法國原子能和替代能源委員（CEA）薩克雷研究中心的提耶利·弗格利佐（Thierry Foglizzo）和同事們提出，可以藉助對水躍現象的模擬，來研究超新星的動態。

超新星指恆星生命結束時內核發生的爆炸。這一過程將形成中子星或黑洞，而星體外層被劇烈噴射到星際空間中。針對該天體物理現象的數值模擬證明，恆星爆炸過程會導致不對稱，這是由爆炸的氣體和在超新星爆發前的衝擊波之間的不平衡產生的。爲了在實驗室尺度模擬這個現象，弗格利佐和團隊提出了一個天才的設想——“反向環形水躍”。

在具備雙曲面表面的圓形水槽裏，液體從邊沿注入，形成薄薄的一層，流向中間的排液孔。這時，水躍就形成了。朝着中央排液管流動的液體形成了一個受重力支配的區域。同時，雙曲線形狀模擬了恆星引力勢能的分佈。水躍就如同恆星中的衝擊波，流動的液體對應爆炸的氣體。儘管水躍一開始是對稱的，但它會產生不對稱性，最終使得自身整體朝一個方向轉動，而內部區域則朝另一個方向轉動。這些研究工作證實了此前在數值模擬中觀察到的不穩定性。

流體力學方程和引力定律之間存在強大的數學聯繫。1981年，加拿大不列顛哥倫比亞大學的威廉·安魯（William Unruh）提出假設：流體力學系統可以模擬再現黑洞的某些特性，即我們所說的聲學黑洞。

更準確地說，水躍或許可以作爲“白洞”的模型，即時間箭頭相反的黑洞。實際上，正如沒有任何物質能夠進入白洞一樣，重力波也無法在水躍內部區域傳播。一些研究者正在研究如何用水躍進行這種模擬，一個重要目的是爲了檢驗霍金輻射的形成。

水躍已經成爲研究那些幾乎無法觸及的現象（例如超新星和黑洞）的工具。但其他的應用方向也正在研究之中，尤其是模擬混沌條件下的動態系統。對於一個誕生於簡單的水槽中的現象，這還真不錯！

本文轉自環球科學