學生排隊，士兵列隊，橫着排叫做行，豎着排叫做列。如果行數與列數都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣(亦叫乘方問題)。核心公式:

方陣問題公式

(1)實心方陣:(外層每邊人數)2＝總人數。

(2)空心方陣:(最外層每邊人數)2－(最外層每邊人數－2×層數)2＝中空方陣的人數。或者是(最外層每邊人數－層數)×層數×4＝中空方陣的人數。總人數÷4÷層數＋層數＝外層每邊人數。

例如，有一個3層的中空方陣，最外層有10人，問全陣有多少人?

一、實心方陣

1.方陣總人數＝最外層每邊人數的平方(方陣問題的核心)－每邊數×每邊數2人數＝(陣最外層總人數＋4)＋1

3.外一層每邊人數比內一層每邊人數多2

4.去掉一行、一列的總人數=去掉的每邊人數×2－1

5、每層數－(每邊－1)×4

二、空心方陣

1外人數＝總人數＋4＋層數＋層數

2數最

＝(最外層每邊數－層數)×層數×4＝(最外層數+最內層數)×層數＋23內層數＝外層數－8

4、每層數＝(每邊數－1)×4

5、實心方陣的總人數是一個完全平方數，空心方陣的總人數是4的倍數。

方陣問題

方陣的基本特點:

1、方陣不論哪一層.每邊上的人(或物)數量都相同，每向裏一層每邊上的 人數就少 2，每層總數少8

2、實心方陣:

總數＝每邊數×每邊數每邊數＝每層數＋4＋1

每邊數＝(每橫排與每豎排之和－1)＋2每層數＝(每邊數－1)×4

3、空心方陣:

總數＝大實心方陣數－小實心方陣數總數＝(最外層每邊數－層數)×層數×4總數＝(最外層數＋最內層數)×層數＋2最外層每邊數－總數＋4＋層數＋層數解決方陣問題的基本思路:

1、避免重複

方陣問題基本公式

基本公式:

(1)N排N列的實心方陣人數爲N2人;

(2)M排N列的實心長方陣人數爲MXN人:(3)N排N列的方陣，最外層有 4N-4人:

(4)在方陣或者長方陣中，相鄰兩圈人數，外圈比內圈多8人;(5)空心正M 邊形陣，若每邊有N個人，則共有MN－M個人;(6)方陣中:方陣人數＝(最外層人數÷4＋1)2方陣問題兩大常見思維方法:

(1)重疊點思維:若有邊與邊的重疊情況，把各邊點數相加時重疊點計算了兩次，因此需要再減去重疊點個數，纔是最終的全部數目:

(2法思維:如果需要計算“某種形狀”的“某種外層”的數目，用整體數目減去內部的數目是一種常用的思維方法。

方陣問題基本公式 2/4

方陣問題應用題就是把人或物按照一定的條件排成正方形，再根據已知條件求出人或物的數量的應用題。特點是:方陣每邊的實物數量相等，同邊上相鄰兩層的實物數量相差 2，相鄰兩層的實物數量相差8。

數量關係:

(1)方陣每邊人數和四周人數的關係:

(每邊人數-1)x4=四周人數

米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?() A128棵 B.132棵 C.153棵 D.157棵[答案]C

[解析]根據公式:棵數＝總長÷間隔＋1。邊長爲48米，每橫行相距3米，共有48÷3＋1＝17行;邊長爲48米，每橫行相距6米，共有48÷6＋1－9 列;可得:17×9＝153(棵)，一共可種樹苗 153棵。

【例1】(國家 2002A 類-9、國家2002B 類-18)某學校學生排成一個方陣，最外層的人數是60 人，問這個方陣共有學生多少人?() A.256人 B.250人 C.225人 D.196人

[答案]A

[解析]根據公式:方陣人數＝(最外層人數÷4＋1)2＝(60÷4＋1)2＝256(人)。

【例2】(浙江 2003-18)某校的學生剛好排成一個方陣，最外層的人數是96 人，則這個學校共有學生()。

A.600人B.615人C.625人D.640人 強華教育公務員考試輔導

[答案]C

[解一]根據公式:方陣人數＝(最外層人數÷4＋1)2＝(96÷4＋1)2＝625(人)。

[解二]數字特性法:方陣的人數應該是一個完全平方數，所以結合選項，選擇C。

【例3】(廣西 2008-11)參加閱兵式的官兵排成一個方陣，最外層的人數是80人，問這個方陣共有官兵多少人?(() A. 441B.400 C.361D.386

[答案]A

[解析]根據公式:方陣人數＝(最外層人數÷4＋1)2＝(80÷4＋1)2＝441(人)。

【例4】(國家 2005一類-44、國家2005二類-44)小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，後來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是多少?() A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

[答案]C

【例5】(北京社招2006-16)用10張同樣長的紙條粘接成一條長61釐米的紙條，如果每個接頭處都重疊1釐米，那麼每條紙條長多少釐米?() A6B.6.5 C.7 D.7.5

[答案]C

[解析]重疊點思維:假設每張紙條有x釐米長，總長度應該是10x，但一共有9個接口，每個接口處都重疊1釐米，因此重複計算了9釐米，據此可得:10x－9－61 x＝7。

【例 6】參加中學生運動會團體操表演的運動員排成一個正方形隊列，若減少一行一列，則要減少 49 人，則參加團體操表演的運動員共()人。 A576 B.625 C.676 D.2401

[答案]B

[解析]重疊點思維:假設每邊有x人，則一行一列共有(2x－1)人(注意該行與列的交叉點上的人被重複計算了兩遍)，有方程:2x－1＝49，解得 x＝25。共有 625 人。

【例 7】(廣東 2005 下-11)要在一塊邊長爲48米的正方形地裏種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?() A.128棵 B:132棵 C.153棵 D.157棵

[答案]C

[解析]根據公式:棵數-總長÷間隔＋1。邊長爲48米，每橫行相距3米，共有48÷3＋1＝17行:邊長爲48米，每橫行相距6米，共有48÷6＋1－9列:可得:17x9－153(棵)，一共可種樹苗153棵。

【例 8】一些解放軍戰士組成一個長方陣，經一次隊列變換後，增加了 6行，減少了 10 列，恰組成一個方陣，一個人也不多，一個人也不少。則原長方形陣共有()人。 A.196 B.225 C.256 D.289

[答案]B

[解析]設該正方形陣每邊x人，則原長方形陣爲(x－6)行，(x＋10)列。x2＝(x－6)(x＋10) x＝15，因此共有 152＝225 人，選擇B

【例 9】奧運會前夕，在廣場中心周圍用2008盆花圍成了一個兩層的空心方陣。則外層有()盆花。

A.251 B.253 C.1000 D.1008[答案]D

[解一]設外層有m盆，內層有n盆，根據公式:m－n－8。則: m－n－8

mtn＝2008 m＝1008 n＝1000

[解二]設該方陣外層每邊x盆，根據“逆向法思維”:x2－(x－4)2＝2008 x＝253，外層每邊有 253 盆，根據公式:外層共有253x4－4＝1008

【例10】(江蘇 2009-74)有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有 68 人，中間一層共有 44 人，則該方陣士兵的總人數是()。

A296人B.308人 C.324人D.348人 I

[答案]B

例1四年級同學參加廣播操比賽，要排列成每行8人，共8行方陣。排列這個方陣共需要多少名同學?

解題分析 這是一道實心方陣問題，求這個方陣裏有多少名同學，就是求實心刀的下中點的總數。排列成每行8人點，共8行，就是有8個8點。求方陣裏有多少名同學，就是求8個8人是多少人?解:8×8＝64(人)

答:排列這個方陣，共需要 64名同學。

[解一]設正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有 N枚硬幣，根據公式可得方程組: N＝4x－4

N－3y－3 N＝60

y－x－5，因爲每枚硬幣5分，所以總價值3元。

[註釋] 這裏圍成的三角形和正方形都指的是空心的。

[解二]根據數字特性法:硬幣能圍成正三角形→硬幣的個數是3的倍數→硬幣的價值可以三等分一根據選項選擇C。

[答案]C

[解析]重疊點思維:假設每張紙條有x釐米長，總長度應該是10x，但一共有9個接口，每個接口處都重疊1釐米，因此重複計算了9釐米，據此可得:10x－9－61 x＝7。

例2有一堆棋子，剛好可以排成每邊6只的正方形。問棋子的總數是多少?最外層有多少隻棋子?

解題分析 依題意可以知道:每邊6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的實心方陣。根據方陣問題應用題的解題規律，求實心方陣總數的數量關係，總人數＝每邊人數×每邊人數，從而可以求出棋子的總數是多少隻。而最外層棋子數則等於每邊棋子數減去1 乘以行數4，即(6－1)×4只。解:

(1)棋子的總數是多少?

6x6=36(只)

(2)最外層有多少隻棋子?

(6-1)x4=20(只)

答:棋子的總數是 36 只，最外層有20只棋子。

例3.三年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一週的人數爲20人，問方陣最外層每邊的人數是多少?這個方陣共有多少人?

分析:根據四周人數與每邊人數的關係可知:

每邊人數=四周人數÷4＋1，可以求出這個方陣最外層每邊的人數，那麼這個方陣隊列的總人數就可以求了。

解:(1)方陣最外層每邊的人數:20÷4＋1＝5＋1＝6(人)

(2)整個方陣共有學生人數:6x6=36(人)

答:方陣最外層每邊的人數是6人.這個方陣共有 36 人。

例4:學校學生排成一個方陣，最外層的人數是60人，問這個方陣共有學生多少人?解析:方陣問題的核心是求最外層每邊人數。

根據四周人數和每邊人數的關係可以知:每邊人數＝四周人數＋4＋1，可以求出方陣最外層每邊

人數，那麼整個方陣隊列的總人數就可以求了。

方陣最外層每邊人數:60÷4＋1＝16(人)整個方陣共有學生人數:16×16＝256(人)。

【鞏固1】某校五年級學生排成一個方陣，最外一層的人數爲60人。問方陣外層每邊有多少人?這個方陣共有五年級學生多少人?

解析:根據四周人數和每邊人數的關係可以知:每邊人數-四周人數＋4＋1，可以求出方陣最外

層每邊人數，那麼整個方陣隊列的總人數就可以求了。解:方陣最外層每邊人數:60÷4＋1=16(人)整個方陣共有學生人數:16×16＝256(人)

答:方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。

【鞏固 2】品晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個?

解析:方陣每向裏面一層，每邊的個數就減少2個。知道最外面一層每邊放14個，就可以求第

二層及第三層每邊個數。知道各層每邊的個數，就可以求出各層總數。

解法1:最外邊一層棋子個數:(14－1)×4＝52(個)

第二層棋子個數:(14－2－1)×4＝44(個)

第三層棋子個數:(14－2×2－1)×4＝36(個)。

擺這個方陣共用棋子:52＋44＋36＝132(個)

解法2:還可以這樣想:中空方陣總個數＝(每邊個數－層數) ×層數×4進行計算。(14－3)×3×4－132(個)  答:擺這個方陣共需132個圍棋子。

【鞏固3】一個正方形的隊列橫豎各減少一排共27人，求這個正方形隊列原來有多少人?

解析:依據:去掉一行，一列的總人數=去掉的每邊人數x2-1可知每邊的人數是:

(27＋1)÷2＝14(人)

原人數是:14×14=196(人)

【鞏固 4】小紅用棋子擺成一個正方形實心方陣用棋子 100枚，最外邊的一層共多少枚棋子?解析:這要用到方陣的公式逆運算，100必然是一個數的平方數

因爲10×10＝100(人)，並且是實心的方陣，所以最外層有 10人。

例5一堆棋子排成一個實心方陣，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少隻棋子?還剩下多少隻棋子?

解題分析 排成方陣的棋子，無論排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，無論去掉哪一行和哪一列，總會有一隻棋子被重複去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少隻棋子，就是要求出比原來方陣中2行的棋子數少1只。另外，要求出剩下多少隻棋子，就要先求出棋子的總數，然後減去去掉的棋子數，就是剩下的棋子數。

解:(1)去掉多少隻棋子?

8×2－1＝15(只)(2)還剩多少隻棋子?8×8－15＝49(只)

答:要去掉 15 只棋子，還剩下49只棋子。

例6育英小學四年級的同學排成一個實心方陣隊列，還剩下5人，如果橫豎各增一個稍大的實心方陣，則缺少26人。育英小學四年級有多少人?

解題分析 排成一個實心方陣隊列，還剩下5人，說明是多出5人，如果橫豎各增加一排後，缺少 26 人，說明橫豎各增加一排所需要的人數是5人與26人的和，那麼(5＋26)人相當原來方陣中兩排的人數多1人，從(5＋26)人中減去角上的1人，再除以2，就可求出原來方陣中一排的人數。因此，可求出原來方陣中的人數，然後加上剩下的5人，就可求出四年級的總人數是多少人。

解:(1)原來方陣中每排有多少人?

(5＋26－1)÷2＝15(人)(2)四年級共有多少人?15×15＋5=230(人)

答:育英小學四年級有230人

例7.三年級一班參加運動會入場式,排成一個方陣,最外層一週的人數爲20人，問方陣最外層每邊的人數是多少?這個方陣共有多少人?
​

分析:根據四周人數與每邊人數的關係可知:

每邊人數=四周人數＋4＋1,可以求出這個方陣最外層每邊的人數,那麼這個方陣隊列的總人數就可以求了。

解:(1)方陣最外層每邊的人數:20＋4＋1＝5＋1＝6(人)

例7:參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊

列減少一行和一列，則要減少 33 人。問參加團體操表演的運動員有多少人?

解析:如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。

                             

從圖中可以看出正方形的每行、每列人數

相等;最外層每邊人數是5，去一行，一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式:去掉一行、一列的總人數=去掉的每邊人數×2－1解:方陣問題的核心是求最外層每邊人數。

原題中去掉一行、一列的人數是 33，

則去掉的一行(或一列)人數＝(33＋1)÷2＝17 人

方陣的總人數爲最外層每邊人數的平方，所以總人數爲17×17=289(人)

【鞏固】參加軍訓的學生進行隊列表演，他們排成了一個七行七列的正方形隊列，如果去掉一行一列，請問:要去掉多少名學生?還剩下多少名學生? ABCD EFGH OOKL MNOP

                              

解析:如上圖表示的是一個4行4列的實心正方形隊列，從圖中可以看出正方形隊列的特點:

(1)正方形隊列每行、每列的人數相等，因此總人數＝每行人數×每列人數。

(2)去掉橫豎各一排時，有且只有1人是同時屬於被減去的一行和一列的，如圖中點A所示。因此去掉的總人數＝原每行人數×2－1，或去掉的總人數=減少後每行人類

本題中所求，即去掉的人數＝7×2－1＝13(人)或去掉的人數＝(7－1)×2＋1＝13(人)還剩的人數＝(7－1)×(7－1)＝36(人)或還剩的人數＝7×7－13＝49－13＝36(人)

答:如果去掉一行一列，要去掉 13 名學生，還剩下 36 名學生。

例10:解放軍戰士排成一個每邊12人的中空方陣，共四層，求總人數?

解法1:這樣想:把中空方陣的總人數，看作中實方陣總人數減去空心方陣人數。(1)中實方陣總人數:12×12＝144(人)

(2)第四層每邊人數:12－2×(4－1)＝6(人)(3)空心方陣人數:(6－2)×(6－2)＝16(人)(4)中空方陣人數:144－16＝128(人)

答:總人數是128 人。

小結:中空方陣總人數＝外邊人數×外邊人數－(內邊人數－2)×(內邊數－2)解法

2:這樣想:把中空方陣分成四個相等的長方形。

(1)每個長方形的長＝外邊人數－層數12－4＝8(人)

(2)每個長方形的寬是層數:4人

例11:一個街心花園如右圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成，已知從每小一頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花?整個花園中共栽多少棵花?

解析:                      

①從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍，又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數爲:9×2－1＝17(棵)。

②又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花:(17－1)×3＝48(棵)。

③.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上計算大三角形栽花棵數時已經計算過一次，所以小三角形每條邊上

栽花棵數爲:9－2＝7(棵)

解:大三角形三條邊上共栽花:(9×2－1－1)×3＝48(棵

中間畫斜線小三角形三條邊上栽花:(9－2)×3＝21(棵)

整個花壇共栽花:48＋21＝69(棵)

答:大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵。

例12.玲玲家的花園中，有一個如下圖那樣，由四個大小相同的小等邊三角形組成的一個大三角形花壇，玲玲在這個花壇上種了若干棵雞冠花，已知每個小三角形每邊上種雞冠花5棵，問大三角形的一週有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵?

分析:                       

(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的，而在大三角形一條邊的中間那棵花，是兩條小三角形的邊所共用的，所以如果小三角形每邊種花5棵，那麼大三角形每邊上種

花的棵數就是5x2-1=9棵了，又由於大三角形三個頂點上的3棵花，都是大三角形的兩條邊所共用的，所以大三角形一週種花的棵數等於大三角形三邊上種花棵數的和減去三個頂點上重複計算的3棵花，即:9x3-3=24,就是大三角形一週種花的棵數。

(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數的總和,等於裏邊小三角形一週上種花的棵數,加上大三角形一週種花的棵數,再減去重複計算的3棵花(因爲裏邊小三角形的三個頂點上的三棵花，也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。

解:(1)大三角形一週上種花的棵數是:(5×2－1)×3－3＝24(棵)

(2)小三角形一週種雞冠花的棵數是:(5－1)×3＝12(棵)

(3)玲玲一共種雞冠花的棵數是:24＋12－3＝33(棵)

答:大三角形一週種雞冠花 24 棵;玲玲一共種雞冠花 33棵。
​

例13.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?

分析:根據已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設黑點表示楊樹，白點表示柳樹觀察圖(1)(2)不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上，方陣中除最裏邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數相等。

即最外層楊,柳樹分別爲(7 －1)×4÷2＝12()。

當柳樹種在方陣最外層的角上時,最內層的一棵是柳樹:當楊樹種在方陣最外層的角上時，最內層的一棵是楊樹,即在方陣中,楊樹和柳樹總數相差1棵。

解:(1)最外層楊柳樹的棵數分別爲:(7－1)×4÷2＝12()

(2)當楊樹種在最外層角上時,楊樹比柳樹多1棵:

楊樹:(7×7＋1)÷2＝25(棵)柳樹:7×7－25＝24(棵)

 (3)當柳樹種在最外層角上時,柳樹比楊樹多1樹柳樹(7×7＋1)÷2＝25(棵)楊樹 7x7-25=24(棵)

答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹12棵柳樹12棵，方陣中總共有楊樹25棵,柳樹 12 棵,方陣中總共有楊樹 25 棵,柳樹 24 棵,或者有楊樹24 棵，柳樹 25棵。

例14.小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，後來又改圍成一

個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五

分硬幣的總價值是多少?

[解一]設正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣，根據公式可得方程組。

N＝4x－4

N＝3y－3－N＝60

y－x＝5，因爲每枚硬幣5分，所以總價值3元。

[註釋] 這裏圍成的三角形和正方形都指的是空心的。

[解二]根據數字特性法:硬幣能圍成正三角形→硬幣的個數是3的倍數→硬幣的價值可以三等分→根據選項選擇C。

例15.要在一塊邊長爲48米的正方形地裏種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?()

[解析]根據公式:棵數＝總長÷間隔＋1。邊長爲48米，每橫行相距3米，共有48÷3＋1＝17行:

邊長爲48米，每橫行相距6米，共有48÷6＋1＝9列:可得:17×9=153(棵)，一共Q 棵。

【鞏固】同學們做早操，排成一個正方形的方陣，從前、後、左、右數，小明都是第5個，這個方陣共有多少人?

解析:如圖，實心圓表示小明的位置，可以知道，這個隊列每行都是9人。

解:每行每列數:5×2－1＝9(人)

共有:9×9＝81(人)

例16:小明用圍棋子擺了一個五層中空方陣，一共用了200枚棋子，請問:最外邊一層每邊有多少枚棋子?

解析 1:利用“相鄰兩層之間，每層的總數相差 8”的特點，可知最外層共有棋子數:

(200＋8＋8×2＋8×3＋8×4)＋5＝56(個)最外層每邊的棋子數:56＋4＋1＝15(個)

解析 2:如練習中的圖，把棋子分成相等的四部分。

每一部分的棋子數:200＋4＝50(個)每一部分每排的棋子數:50÷5＝10(個)最外層每邊的棋子數:10＋5＝15(個)綜合列式爲:200÷4÷5＋5＝15(個)

答:最外邊一層每邊有 15枚棋子。

【鞏固】遊行隊伍中，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣，最外邊一層每邊 12 人，請問:彩車周圍的少先隊員共有多少人?

解析1:請同學們自己畫一個圖，下圖是一個三層中空方陣的示意圖，

                          

不難發現，有如下特點:

(1)外層每邊點的個數都比相鄰內層的每邊點的個數多2;

(2)每相鄰兩層之間，點的總數相差8個。最外層隊員的總數:12×4－4=44(人)三層共有隊員的

總數:44＋(44－8)＋(44－8×2)＝44＋36＋28＝108(人)

解析2:如下圖可分成相等的四部分，每一部分的人數:

(12－3)×3＝9×3＝27(人)

三層共有隊員數:27×4＝108(人)答:彩車周圍的少先隊員共有108人。

例17.有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總人數是()。A.296人 B.308人 C.324人 D.348人

[答案]B

[解一]最外層68人，中間一層44人，

則最內層爲44x2-68=20人(成等差一共有:68－208＋1＝7(層)，總人數爲44×7＝308。

[解二]中間一層共 44人，總人數是＝44×層數，是44 的倍數，結合選項直接鎖定B。

例18.有一隊學生，排成一箇中空方陣，最外層的人數共48人，最內層人數爲24人，則該方陣共有多少人。A. 120 B.144 C. 176 D.194

[答案]B

[解一]設最外層每邊x人，最內層每邊y人，根據公式:4x－4＝48

4y－4＝24 x＝13

小學奧數方陣問題專題訓練(含答案)

(每邊人數－1)×4＝四周人數

四周人數÷4＋1＝每邊人數

(2)方陣總人數的計算方法:

實心方陣:每邊人數×每邊人數＝總人數

空心方陣:外邊人數×外邊人數－內邊人數×內邊人數＝總人數

若將空心方陣分成4個相等的矩形計算，則:

(外邊人數－層數)×層數×4＝總人數

小學奧數方陣問題專題訓練

1.某班抽出一些學生參加節日活動表演，想排成一個正方形的方陣，結果多出7人;如果每行每列增加一個再排，卻少了 4人，問共抽出學生多少人?

2.棋子若干粒，恰好可排成每邊8粒的正方形，棋子的總數是多少?棋子最多有多少粒?

3.設計一個團體操表演隊，想排成6層的中空方陣，已知參加表演的有 360人，問最外層每邊應安排多少人?

4.在第五屆運動會上，紅星小學組成了一個大型方塊隊，方塊隊最外層每邊 30人，共有 10 層，中間5層的位置由 20個同學抬着這次運動會的會徽，問這個方塊隊共有多少同學組成?

5.有一隊學生，排成中空方陣，最外層的人數共 56人，最內層的人數共 32 人，這一隊學生共有多少人?

6.學校舉行團體操表演，四年一班的少先隊員排成4層的中空方陣，最外層每邊人數是10人，問參加團體操表演的少先隊員共有多少人?

7.用棋子擺成方陣，恰好每邊 24 粒的實心方陣，若改爲3層的空心方陣，它的最外層每邊應改放多少粒?

8.將棋子排成正方形，甲、乙兩人自其外周起，輪流取一週，結果甲比乙多得24 粒，問棋子總數有多少粒?

9.學生若干人，排成五層的中空方陣，最外層每邊人數是 12 人，問有多少學生?

10.某校少先隊員可以排成一個四層空心方陣如果最外層每邊有20個學生，問這個空心方陣最裏邊一週有多少個學生?這個四層空心方陣共有多少個學生?

11.六一兒童節前夕,在校園雕塑的周圍，用204盆鮮花圍成了一個邊三層的方陣求最外面一層每邊有鮮花多少盆?

二、例題精講

例1四年級同學參加廣播操比賽，要排列成每行8人，共8行方陣。排列這個方陣共需要多少名同學?

解題分析 這是一道實心方陣問題，求這個方陣裏有多少名同學，就是求實心方陣中布點的總數。排列成每行8人點，共8行，就是有8個8點。求方陣裏有多少名同學，就是求8個8人是多

少人?

解:8×8＝64(人)

答:排列這個方陣，共需要 64 名同學。

例2有一堆棋子，剛好可以排成每邊6只的正方形。問棋子的總數是多少?最外層有多少隻棋子?

解題分析 依題意可以知道:每邊6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的實心方陣。根據方陣問題應用題的解題規律，求實心方陣總數的數量關係，總人數＝每邊人數×每邊

人數，從而可以求出棋子的總數是多少隻。而最外層棋子數則等於每邊棋子數減去1乘以行數4，即(6－1)×4 只。

1.一個圓形池塘，它的周長是 150 米，每隔3米栽種一棵樹.問:共需樹苗多少株?

2.有一正方形操場，每邊都栽種 17棵樹，四個角各種1棵，共種樹多少棵?

3.有一條 2000 米的公路，每相隔 50米埋設一根路燈杆，從頭到尾需要埋設路燈杆多少根?

4.某大學從校門口的門柱到教學樓牆根，有一條1000米的甬路，每邊相隔8米栽一棵白楊，可以栽白楊多少棵?

答案：本部分設定了隱藏,您已回覆過了,以下是隱藏的內容 1.提示:由於是封閉路線栽樹，所以棵數=段數，150÷3＝50。

5.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時從

路的一端的某一棵樹出發.當甲走到從自己這邊數的第22棵樹時，乙剛走到從乙那邊數的第10棵樹.已知乙每分鐘走36米.問:甲每分鐘走多少米?

6.有一個等邊三角形的花壇，邊長 20 米。每個頂點都要栽一棵月季花，每相隔2米再栽一棵月季花，花壇一週能栽多少棵月季花?

答案：提示:在正方形操場邊上栽樹.正方形邊長都相等，四個角上栽的樹是相鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數爲17－1＝16，共栽:×4=64。

7.有一個正方形水池，外沿邊長 40米。沿着外沿圍一圈鐵欄杆，每個角上都要埋一根豎鐵管，每相隔2米再埋一根豎鐵管，可埋豎鐵管多少根?

8.馬路的每邊相隔 7米有一棵國槐，小軍乘無軌電車3分看到馬路的一邊有國槐151棵，無軌電車每小時行多少千米?

9.慶祝建國 40 週年，接受檢閱的一列彩車車隊共52輛，每輛車長4米，前後每輛車相隔6米，車隊每分行駛 105 米。這列車隊要通過 536米長的檢閱場地，需要多少分?