物質如何影響時空？又如何在被擾動的時空中運動？如何用精準的數學語言來表述廣義相對論？又如何理解公式背後的層層物理原理？12月24日12時，《張朝陽的物理課》第一百九十二期開播，搜狐創始人、董事局主席兼首席執行官、物理學博士張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，首先回顧了張量的定義，重溫了張量這一數學語言在表達廣義相對論中無可替代的地位。緊接着，他還回顧了彎曲時空中測地線的定義，詳細講解了“時空決定物質如何運動”的物理內涵。其後，張朝陽轉向與之相對的“物質決定時空如何彎曲”這一主題，從牛頓引力的場方程形式出發，介紹了愛因斯坦場方程。

廣義相對論用張量來表達

傳統的時空觀源於生活直觀經驗：空間八荒六合，有三個維度；時間如長河，獨立向前流淌。根據現代物理學理論，自然未必如此簡單。張朝陽介紹，首先以現代物理學的觀點，時間和空間是“攪和在一起的”，形成一個四維的空間，或者又統稱稱爲時空（spacetime）。一個例子是閔氏時空，其上每一點都用四個座標

來標記，是狹義相對論的研究對象。其次，在大多數情境下，時空未必如所願般平直整齊——除非整個時空上都空無一物。通過對質量的思考，愛因斯坦經由被稱爲“弱等效原理”的假設，提出引力本質上是時空的彎曲，構建了數學上和物理上都稍有難度，但又自帶非凡美感的廣義相對論。

數學上，爲了描述時空的彎曲，需要全新數學工具——張量分析。在之前直播課上，張朝陽曾經詳細講解過張量的定義和性質。他解釋，張量分析本身並不神祕，它其實是經典物理中熟悉的數學工具的推廣，比如低階的張量對應

階數大於2的張量沒有一個簡單常見的表達形式，但它無非是若干個數或者說分量按一定規則組成的整體。所謂的規則，是要求在任意座標變換

下，張量的各分量要按特定方式進行重新組合，以保證整個張量的不變。以一階張量爲例，協變張量和逆變張量應當滿足的變換規則分別是

特別地，座標微元也滿足張量變換規則

它即是鏈式求導法則。

兩個一階張量作張量積的結果是一個二階張量，不難推論，在座標變換下二階張量的各分量要求滿足

二階張量的一個例子是度規張量。想象三維空間中某個方向上的小位移，在給定座標基下，可以表達爲

它的模長是

不難看到，兩個座標微元前面是一組用兩個指標標記的數，可以重新記爲

由於在座標變換下，基矢

不難驗證它滿足變換規則的要求，於是 g 是一個良好定義的張量。相似的形式可以相當直接地擴展到四維時空上時空間隔的表達上。再利用上座標微元的變換規則，不難驗證座標變換後

時空間隔是一個不變量。

（張朝陽回顧張量的定義）

時空決定物質如何運動

生活在具體的時空中，物質的運動過程與時空的性質緊密聯繫。宏觀物體的運動可以用它的運動軌跡——也就是某條曲線——描述。當僅關注曲線中的很小一段時，曲線可以局域地用直線來刻畫，表示爲時空間隔 ds 。與狹義相對論相對應，此時時空間隔可以被更恰當地解釋爲粒子自身的原時。於是，軌跡的切矢

即可以被解釋爲粒子的（四）速度。直觀地看，如果任意給定一條軌跡，定義的切矢當然是沿着軌跡運動並不斷變化的。那麼怎麼刻畫它沿軌跡的變化呢？張朝陽介紹，刻畫變化一般用要到求導，但一般對張量各分量的偏導數的機構，並不總能滿足張量的變化規則。因此，爲了得到協變導數（covariant derivative）引入一些修正是必要的。以1階逆變張量爲例

而對協變張量，則是

求導的結果一般是一個16分量的二階分量，它記錄了各分量在各個特定方向的平移下的變化量。

而如果將平移限定在沿着某條已知曲線，或者說軌跡上時，如若記曲線上的小段間隔爲 dx^γ，則在走過這段間隔後矢量的變化可以記爲

爲了理解這一式子的涵義，可以先從相對熟悉的三維空間上的某一力場說起。如圖：

如果一個矢量場記爲

沿曲線移動一小段後，各分量的變化可以由泰勒公式給出

矢量整體的變化，即是分量變化的組合

而式 (1) 無非是將這一個結果用張量的語言從新表達，並對應地將普通偏導數替換爲協變導數，以適應彎曲時空。

在經典教科書上，這一過程爲矢量沿某曲線的平行移動（parallel transport）。推導 (1) 式過程中，U 代表的是任意矢量，理所當然地可以取爲軌跡的切矢。注意到，如果是在平面上，一條直線的切矢沿着直線運動時，它的方向不作任何改變。換而言之，直線上各點的切矢相互平行——它也是將該過程稱爲“平行”移動的由來。類似地概念可以被推廣到彎曲時空中，張朝陽進一步介紹，那麼接下來的問題是：如果此時時空是彎曲的，能否找到切矢平移不變的軌跡？答案是肯定的。還是從 (1) 出發，切矢平移不變意味着

如果除以原時，矢量沿軌跡的變化速率爲

利用切矢的定義，方程可以被改寫爲

解這一微分方程得到的曲線即滿足前面所提要求，稱這條曲線爲測地線（geodesic）。

測地線之於彎曲時空，好比直線之於平直時空，前者是後者的自然推廣。利用它們之間的對應關係，還可以對力學的基本原理作推廣。回憶牛頓第一定律，不受外力作用的物體的運動軌跡會保持爲一條直線。而如果把引力不視爲“外力”，自然地會要求彎曲時空中的不受力物體沿測地線運動。值得注意的是，因爲時空是彎曲的，即使不受外力，粒子也並非沒有“加速度”。張朝陽解釋，如果換個角度來看，將 (2) 式與牛頓第二定律對比，粒子的加速度完全由幾何性質決定，並不依賴於粒子自身的質量。用一句話總結，“時空決定物質如何運動”。

（張朝陽介紹測地線定義及其方程）

物質決定時空如何彎曲

方程 (2) 中，幾何效應由克式符給出。雖然方程不依賴於運動粒子的質量，但它仍和引力源的質量有關。引力源的質量作爲參數出現在克式符的各分量中，所以又常說，大質量物體造成了時空的彎曲，或者說“物質決定時空如何彎曲”。

物質對時空曲率的影響在廣義相對論中用愛因斯坦場方程來表達。在場方程中，愛因斯坦在等號左側放入描述時空彎曲的幾何量——曲率。曲率由克式符和它的一階導通過一定的張量運算得到，也即是包含了度規的二階導數。而在等號右邊，愛因斯坦放入描述物體質能和動量相關的二階張量。張朝陽用“隧道”來比喻場方程，它非常漂亮地連通了時空幾何和物質能量兩座大山。給定時空中的物質分佈——比如放下一個大質量恆星，就可以從場方程中解出時空的度規以及克氏符；知道度規和克氏符後，利用測地線方程，就可以預測大質量天體附近小質量行星的運動軌跡。

爲了更好理解場方程，張朝陽先重新回顧了牛頓引力方程。原則上，正如測地線是直線的推廣，廣義相對論可以視爲牛頓引力的自然推廣。關於牛頓引力，以及相關的數學工具，在《張朝陽的物理課》第二卷中已有相當詳細的推算，這裏僅做一個概述。首先離開張量，重新回到熟悉的力、矢量和常用微積分的語言。結合牛頓第二定律和牛頓引力的平方反比律，有

這裏根據弱等效原理，在方程兩邊刪去了運動粒子的質量。如圖，

假設空間中有一個曲面 S 包圍着作爲引力源的一團物質，穿過曲面的力的總和

這裏用到了散度定理，來給出面積分和體積分之間的關係。由於牛頓引力是保守力，所以可以定義一個引力勢能 ϕ 使得

積分等式右邊又可以寫爲

同時，由於牛頓引力滿足平方反比律，它將滿足高斯定理。即如果物質按密度 ρ 分佈，在曲面內選一小體元（如圖所示）

它產生的引力爲

它在曲面的通量爲

所以，曲面所圍住的所有物質造成的引力通量爲

如果所取曲面圍住的體積很小時，結合 (3) 式，可以得到方程

它有幾個特點：其一，它與測試粒子的質量無關，這是弱等效原理的體現；其二，物質分佈決定一個標量場（scalar field）以描述引力的分佈。從這一角度，在矢量表達之外，牛頓引力也可以被總結爲一個場方程（field equation）。

這一場方程應該被視爲愛因斯坦場方程的近似版本。在牛頓引力框架下，方程中只涉及對空間的求導，而時間獨立於空間獨自流淌。引力的效應與時間無關，換句話說，引力作用是瞬時的，是一種超距作用。同時，方程描述的物質分佈和勢場都是基於三維平直時空，不涉及任何內稟彎曲的幾何效應。但是正如前言所提，“世界並沒有那麼簡單”。張朝陽解釋道，光速是速度的上限，所以自然不應該存在任何超距作用。當時空作爲整體納入考慮時，甚至不再保持平直時，過於簡單的、單一分量的標量場就不再能刻畫複雜的時空結構。

自然地，應當把標量場方程擴展爲一個張量場方程。等號右邊，質量密度被提升爲能動張量

能動張量是一個二階對稱張量，質量密度，或者說由相對論原理，等同的能量密度 ρ，僅是它的 00 分量。整體上，如果以矩陣形式表達

藍色部分三個分量量，可以被理解爲物質分佈的壓強。這一類比事實上來源於對流體的研究，在前面講解中子星簡併壓的課程中，張朝陽曾介紹過，自然單位制下壓強分佈和能量密度擁有同樣的量綱。而紅色部分的三個分量，兩指標一代指空間分量一代指時間分量，事實上寫入的是物質的動量分佈。此時，扔剩下的三個獨立分量，也有相當的物理意義，留待後續課程繼續展開分析。

轉到等號左邊，等號左邊應該是描述時空彎曲的量。原則上，度規是一個二階張量，所以包含度規二次導的曲率應當是一個四階張量，又被稱爲黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）。它一般被記爲

爲了與等號右邊的二階張量相等，需要收縮其中兩個指標，使其變爲一個二階張量。習慣上，會收縮指標 t 和 s

得到裏奇曲率張量（Ricci curvature tensor）。在猜想廣義相對論動力學方程的早期，愛因斯坦曾嘗試將裏奇張量放入到方程左邊，而後經過多次嘗試，爲了滿足能量動量的守恆律

左邊事實上應該是裏奇張量和它的跡的線性組合，被稱爲愛因斯坦張量

其中，裏奇張量的跡

又稱爲裏奇標量。

綜上所述，愛因斯坦最後得到的方程是

這是一條複雜而優美的方程。張朝陽提醒，注意到它是一個二階張量的方程，所以這一條方程其實是十條方程的歸納，所以相當複雜。但同時，它的意義又足夠簡單清晰，因此引起了近一百年間無數物理學家、數學家、實驗學家的不斷研究和檢驗，百年來直至今日仍在不斷更新對自然和宇宙的認知。在廣義相對論的啓發下，膨脹宇宙，時間奇點和宇宙大爆炸假說等對宇宙的探究認知已經逐漸深入人心。新世紀以來對微波背景輻射，以及更爲激動人心的對引力波的觀測和事件視界望遠鏡對緻密天體的觀測，不斷地在驗證廣義相對論和宇宙學的正確性。

（張朝陽介紹愛因斯坦場方程）

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