一年一度的中考又快到了。因式分解，是中考的高頻考點。縱觀歷年全國各省市中考考題，因式分解真的是從選擇題、填寫題、計算題、應用題甚至壓軸題，都會涉及到。可以大膽的說，弄懂因式分解，中考提高10-20分一點問題都沒有。

把一個多項式在一個範圍(如實數範圍內分解，即所有項均爲實數)化爲幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

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下面我們來介紹因式分解的12大方法。

一、提公因式法

一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

【要點詮釋】

（1）如果多項式的第一項係數是負數時，應把公因式的符號“-"提取。

（2）取多項式各項係數的最大公約數爲公因數的係數。

（3）把多項式各項都含有的相同字母（或因式）的最低次冪的積作爲公因式的因式。

上述步驟不是絕對的，當第一項是正數時步驟（1）可省略。

二、運用公式法

如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用於分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。

1、平方差公式

a²-b²=(a+b)(a-b)

2、完全平方公式

a²+2ab+b²=(a+b)²

3、立方和公式

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

4、立方差公式

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

5、完全立方和公式

a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³

6、完全立方差公式

a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³

7、三項完全平方公式

a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²

8、三項立方和公式

a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)

三、分組分解法

分組分解法指通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，分解方式一般分爲“1+3”式和“2+2”式。

分組分解是因式分解的一種複雜的方法，讓我們來須有預見性。能預見到下一步能繼續分解。而“預見”源於細緻的“觀察”，分析多項式的特點，恰當的分組是分組分解法的關鍵。應用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時它在代數式的化簡，求值及一元二次方程，函數等學習中也有重要作用。

四、十字相乘法

十字相乘法是因式分解中12種方法之一。十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

對於形如ax²+bx+c的多項式，在判定它能否使用十字分解法分解因式時，可以使用Δ=b²-4ac進行判定。當Δ爲完全平方數時，可以在整數範圍對該多項式進行十字相乘。

五、添項折項法

對於有些多項式，直接用提公因式和公式法不能直接進行因式分解。用分組分解法分解後，仍好像缺一些項，這類的多項式要使用《添項折項法》。

把多項式的某一項拆開或填補上互爲相反數的兩項(或幾項)，使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解,這種分解因式的方法叫做添項折項法。

六、配方法

配方法是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恆等變形化爲完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之爲配方法。這種方法常常被用到恆等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一。

配方法是一種特殊的添項法，如何拆項或添項，依賴於對題目所給代數式特點的觀察和分析。

七、求根法

我們先來看兩個式子，4x²+3x+1，x²-x-2，未知數x的最高次數是2次，並且有一次項和常數項，共有三項，符合ax²+bx+c=0（abc≠0）的結構特徵。

我們把ax²+bx+c=0（a≠0，b≠0，c≠0）叫做關於x的二次三項式。這個式子這個式子的x的最高次項是2，並有一次項和常數項，共有三項。

二次三項式 ax²+bx+c（a≠0) 的因式分解，如果ax²+bx+c=0(a≠0)的解是x₁和x₂，那麼可以因式分解爲a(x-x₁)(x-x₂)。

八、特殊值法

將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。這種分解因式的方法叫做特殊值法。

九、待定係數法

有的多項式雖不能直接分解因式，但可由式子的最高次數與係數的特點斷定其分解結果的因式形式。如只含一個字母的三次多項式分解的結果可能是一個一次二項式乘以一個二次三項式，也可能是三個一次因式的積。於是，我們可以先假設要分解因式的多項式等於幾個因式的積，再根據恆等式的性質列出方程（組），進而確定其中的係數，得到分解結果，這種方法就稱爲待定係數法。

十、主元法

所謂主元法分解因式就是在分解含多個字母的代數式時，選取其中一個字母爲主元（未知數），將其它字母看成是常數，把代數式整理成關於主元的降冪排列（或升冪排列）的多項式，再嘗試用公式法、配方法、分組法等分解因式的方法進行分解。

十一、換元法

解一些複雜的因式分解問題，常用到換元法，即對結構比較複雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替(即換元)，則能使複雜的問題簡單化，明朗化，在減少多項式項數,降低多項式結構複雜程度等方面有獨到作用。

換元法又稱變量替換法 , 是我們解題常用的方法之一 。利用換元法 , 可以化繁爲簡 , 化難爲易 , 從而找到解題的捷徑 。

換元的主要方法有：整體換元、均值換元、雙換元、倒數換元、和差換元。

十二、綜合短除法

【短除法】，是求最大公因數的一種方法，也可用來求最小公倍數。 求幾個數最大公因數的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數的因數找出來，然後再找出公因數，最後在公因數中找出最大公因數。

綜合短除法因式分解步驟

第一步：令多項式f(x)=0，並試出其中一個根。通常用-3、-2、-1、0、1、2、3這幾個數來試根，如果能試出一個就可以。

第二步：假設試出-1爲一個根，肯定有其中一個因式x+1，因爲x+1=0時，x=-1。同理，其他根也一樣處理。如果得出一個根是-n，則因式爲x+n

第三步：用短除法，用多項式除以x+n。除盡即可。

第四步：短除法核心，要保持最高項的次數和常數一致，用上一級留下的減去即可。一直處理到0。

第四步：結果再因式分解。

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