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徑向力諧波頻率和相應振型的一般表達式：

徑向力諧波的最低模數等於GCD（2p，Ns），即，極數、槽數的最大公約數（除了模數0）。此結論適用於對稱三相雙層繞組永磁同步電機。

利用二維時步有限元法來計算徑向力分佈。在轉子轉動時，獲得不同轉子位置處產生的徑向力分佈。圖2顯示了24槽8極電機定子內表面的徑向力密度的分佈情況（轉子旋轉至90o機械角，Iq=3A）。我們可以在空間和時域上進行二維快速傅立葉變換（FFT）分析。表II中列出了徑向力諧波的頻率和模數。表III和IV則分別對應12槽8極電機和12槽10極電機。

24槽8極電機有對稱三相等相帶繞組。因此ξ= 2，GCD（4, 24）= 4。頻率和徑向力諧波模數分別爲8nf1和|−8n±24 L |。最低的模數爲GCD（8, 24）= 8。12槽8極電機有對稱三相不平衡相帶繞組。因此，ξ= 1，GCD（4, 12）= 4。其頻率和模數爲8nf1和|–8n±12 L |。最低的模數爲GCD（8, 12）= 4。對於12槽10極電機徑向力的諧波頻率爲10nf1，模數爲|–10n±6 L |。最低的模數爲GCD（10, 12）= 2。它與表二至四的模擬結果一致。而對於槽數和極數相差等於1的電機，最低模數爲1，如9槽8極電機。

文獻【2】中的分析表明，徑向力諧波主要由氣隙磁通密度的基波分量構成，因爲力與徑向氣隙磁通密度的平方或兩個不同氣隙磁通密度諧波的乘積成正比。例如表II中， 24槽8極電機以諧波（8, 8f1）爲主導，它由頻率爲4f1、空間階數爲4的氣隙磁通密度波的基波分量引起。模數小於2p的諧波，特別是具有最低模數的諧波，雖然力諧波較小，但能引起較大的振動。分數槽電機最小模數的力諧波主要是由基波分量與其它低階諧波之間的相互作用引起的。如12 槽8 極電機中對振動影響較大的模數爲4、頻率爲8f1的徑向力諧波，主要是由基波氣隙磁密(空間階數爲4，頻率爲4f1)和空間階數爲4、頻率爲8f1的氣隙磁密諧波產生。至於12槽10極電機中最低模數爲2的力諧波，則由基波氣隙磁密(5次)和7次諧波相互作用產生。雖然其他諧波之間的相互作用也會產生二階徑向力諧波，但其幅值都較低。

振動分析

對三臺研究電機的振動水平進行了分析和比較。通過結構仿真，可以得到定子外表面的振動位移。爲了比較振動水平，在第二節中進行了徑向位移的二維FFT運算。得到了不同振型的頻率和階數。圖3（a）中的振動可分解爲圖3（b）中的二階模態振動和圖3（c）中的四階模態振動。

利用上述方法可以預測電磁力產生的振動。圖4給出了當IQ＝3 A、id＝0、速度＝1200 r / min時12槽8極電機的定子外表面的振動位移，類似地在同樣條件假設下獲得了其他兩個電動機的振動位移。通過二維FFT中的振動位移運算，得到了三個電機的主要振動模態，如表五所示，表五中的第四列給出了所有力諧波引起的主要振動模態的振動位移幅值。最後一欄將在本節最後一段解釋。

從表五中可以看出，24槽8極電機的振動水平是最低的。另外兩個具有分數槽極比的電機則水平較高，因爲12槽8極和12槽10極電機的徑向力諧波的各自模態數比24槽8極電機低，如表II至IV所示。較低的模數會導致定子的較大變形。因爲12槽10極電機的最低模數是2，所以振動更嚴重。結果表明，主振型的階數與徑向力的最小模數有關，12槽8極電機爲4，12槽10極電機爲2。低模數徑向力諧波更容易產生低頻共振。這是因爲，當徑向力諧波模數和頻率分別與定子的周向模數和相應的固有頻率相同時，就會發生機械共振【19】、【20】。與定子低階振動模態對應的諧振頻率通常較低，當轉子轉速較高時，力諧波頻率與低階模數的匹配將變更容易。

爲了驗證低模數力諧波對振動的影響，在不施加最小模數的力諧波的情況下對12槽8極和12槽10極電機進行了振動仿真。表五中的最後一列顯示了相應的振動位移。圖5給出不施加力諧波模數等於4的情況下12槽8極電機的振動位移。從表五和圖5中可以看出，當不施加最小模數的力諧波時，振動水平變低。也可以說明，低模數的力諧波對定子振動有顯著的影響。若能消除低模數力諧波，則可降低電機的振動水平。

減小最小模數徑向力諧波

通過在電樞繞組中注入適當的補償電流，可以減少低次諧波。

爲了減少12槽8極電機最低模數徑向力諧波（4,8f1），可以設法減小（8,4f1）氣隙磁通密度諧波。在不考慮磁飽和的情況下，可以通過疊加永磁體和電樞反應場來得到負載時候的磁場分佈。因此，可以通過向繞組中注入補償電流方法來抵消了（8,4f1）氣隙磁通密度諧波。若要抵消 (8,4f1 )氣隙磁密諧波，就需要補償電流在電樞繞組中能夠產生一組空間位置、幅值、頻率與其相等、相位相差180° 的氣隙諧波。

實驗

結論