（本資料是受福建省普教室張弘老師的委託，組織整理更新而成，停課不停學，我們一起努力！）在數學發展的相當長的時期內，算術是幾何的附庸，笛卡爾和費馬將數與圖形有機的結合在一起，開創了圖形的數量化研究，實現了根本性的轉變，“數無形時不直觀，形無數時難入微”道出了數形結合的辯證關係。我們在初中數學學習中，應該引導學生感知這種圖形的數量化研究的思想和魅力，應該將代數與圖形有機結合，能用“代數表示”研究圖形的位置和圖形變換運動過程，養成具有良好的感知圖形的數量化研究的思想和魅力。這將爲學生今後高中甚至於大學之後的數學學習產生深遠影響．【例1】（2017·南通） 已知直線y＝kx＋b與拋物線y＝ax2（a＞0）相交於A、B兩點（點A在點B的左側）與y軸正半軸相交於點C，過點A作AD⊥x軸，垂足爲D．（2）若∠AOB＝90°，點A的橫座標爲－4，AC＝4BC，求點B的座標．（3）延長AD，BO相交於點E，求證：DE＝CO．![]()
將所得到的B點座標代入y＝ax2（a＞0）即可得到所求的a的值爲：√3．![]()
由△AOD∽OBE（或三角函數的定義），得16a:4=1:a，解得a＝1/2（負值捨去），所以點B的座標是（1，1/2）．
（3）如下圖示，（兩種情況只是圖形位置不同，解題思路和方法完全一樣）![]()
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另：OC的長的求法，也可由OC∥AE得△BOC∽△BEA，再根據“相似三角形對應高的比等於相似比”得OC：AE＝BN：BM.……![]()
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所以AD/DE＝AC/BC，進一步，得AD/AE＝AC/AB，又∠BAE＝∠BAE，因此△ACD∽△AEB，……，得CD∥BE，又OC∥DE，所以四邊形DEOC是平行四邊形，因此DE＝OC.
法三：設A（x1，a），B（x2，a），則直線OB的解析式爲y＝ax2x.又因AE∥y軸，則xE＝xA＝x1，yE＝ax1x2．直線y＝kx＋b與拋物線y＝ax2(a＞0)相交於A，B兩點，x1，x2是方程ax2－kx－b＝0的兩根，則x1·x2＝．yE＝ax1x2＝a·()＝－b．所以DE＝b． 另一方面，在y＝kx＋b中，由xC＝0，得yC＝b．即OC＝b．【反思】第3小題的三種解法，其本質都一樣。另試題本身含較豐富的參數的計算，因此式的變形正確與否就顯得非常重要．【例2】（2017·甘肅）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+4的圖象與x軸交於點B（﹣2，0），點C（8，0），與y軸交於點A．（2）連接AC，AB，若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM∥AC，交AB於點M，當△AMN面積最大時，求N點的座標；（3）連接OM，在（2）的結論下，求OM與AC的數量關係．![]()
（1）簡析：只需將點B、點C的座標分別代入y=ax2+bx+4可得關於a、b的方程組，即可得到a、b的值。答案爲：y=1/4x2+3/2x+4.（2）由於A（0，4）、B（－2，0），C（8，0），得OA＝4，BC＝10，設點N的座標爲（n，0）（﹣2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8﹣n．如下圖示：![]()
法一：先求S△ABN＝0.5×(n+2)×4＝2n+4, 由於A、M、B三點共線，所以S△AMN：S△ABN＝AM：AB，另一方面，由NM∥AC可得AM：AB＝（8－n）：10，所以S△AMN：S△ABN＝（8－n）：10，化簡，得![]()
因﹣1/5＜0，當n=3時，即N（3，0）時，△AMN的面積最大.法二：由A（0，4）和C（8，0）先求出直線AC的解析式爲y=－1/2x+4，再由A（0，4）和B（－2，0）求出直線AC的解析式爲y=2x+4. 因爲NM∥AC，所以可設直線MN的解析式爲y=－1/2x+b，將點N（n，0）代入，1/2n+b＝0，解得b=1/2n，所以直線MN的解析式爲y=－1/2x+1/2n＝－1/2（x－n）.如下圖示：![]()
得yM=(2n+4)/5.所以S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝0.5×BN×OA－0.5×BN×MN＝0.5×BN×(OA－MN)＝0.5(n+2)[4-(2n+4)/5]＝－1/5(n-5)2+5. 下同.【反思】雖然第二種方法較繁，但兩種解法都是常用的解題思路.（3）由（2）得N（3，0），此時N爲BC邊的中點，如下圖示：![]()
由NM∥AC，得AM：BM＝CN：BN＝1：1，即AM＝BM. 在Rt△AOB中，由AM＝BM可得，OM＝1/2AB.如下圖示：![]()
分別在Rt△AOB和Rt△AOC中，由勾股定理，可得AB＝2×根號5，AC＝4×根號5，所以AB＝1/2AC。如下圖示：
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（當然也可用相似來證AB＝1/2AC）.
【例3】（2017·山西）如圖，拋物線與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸交於點C，連接AC、BC．點P沿AC以每秒1個單位長度的速度由點A向點C運動，同時，點Q沿BO以每秒2個單位長度的速度由點B向點O運動，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，過點Q作QD⊥x軸，與拋物線交於點D，與BC交於點E．連接PD，與BC交於點F．設點P的運動時間爲t秒（t>0）．![]()
（2）①直接寫出P、D兩點的座標（用含的代數式表示，結果需化簡）．②在點P、Q運動的過程中，當PQ=PD時，求t的值．（3）試探究在點P、Q運動的過程中，是否存在某一時刻，使得點F爲PD的中點．若存在，請直接寫出此時t的值與點F的座標；若不存在，請說明理由．(1)基本題，不做詳解.簡解如下：分別當y=0和x=0時，代入解析式，得到相應的x的值和y的值.![]()
②當PQ=PD時，過P點作PH⊥QD於點H，如下圖示：![]()
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【例4】（2017·湖州）如圖，在平面直角座標系xOy中，已知A，B兩點的座標分別爲（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是線段A B上一點（與 A，B點不重合），拋物線L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）經過點A，C，頂點爲D，拋物線L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）經過點C，B，頂點爲E，AD，BE的延長線相交於點F．（3）是否存在這樣的實數a（a＜0），無論m取何值，直線AF與BF都不可能互相垂直？若存在，請直接寫出a的兩個不同的值；若不存在，請說明理由．![]()
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（2）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0). 先分別求出過A、C兩點（或過B、C兩點）且a=－1的拋物線解析式；分別爲：L1爲y=﹣x2+（m﹣4）x+4m； 當AF⊥BF時，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2. 分別在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2．![]()
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綜上可得：假設AF⊥BF時，必滿足a≤﹣1/3，反之，若不滿足這個關係式，則直線AF與BF就不可能互相垂直.等價於：![]()
反思：數形結合思想是依託，“式的變形與計算”是關鍵.【例5】（2018·晉江質檢）已知經過原點的拋物線y=ax2+bx與x軸的正凟交於點A，點P是拋物線在第一象限上的一個支點.
（1）如圖1，若a=1，點P的座標爲（5/2，5/4），①求b的值；②若點Q是y軸上的一點，且滿足∠QPO＝∠POA，求點Q的座標；（2）如圖2，過點P的直線BC分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸於點B、C，過點C作CD⊥x軸交射線OP於點D，設點P的縱座標爲yP，若OB·CD＝6，試求yP的最大值.![]()
（1）①直接代入，即可求得，答案爲：b=2.相應的解析式爲：y=x2－2x.②畫出符合題意的圖是解決問題的第一步，也是重中之重，本題的圖不難畫出，但要注意兩種情況，如下圖示：![]()
第二種情況可以直接求解，也可以藉助第一種情況求解.法一：先求PQ2與x軸交點座標E，再求出直線PQ2的解析式，最後再求出Q2座標，如下圖示：可得E（25/16，0），進一步得到直角PE的解析式爲y=4/3x－25/12，從而得到Q（0，－25/12）. 法二：利用角平分線的對稱性，如下圖示，根據相似或三角函數定義或勾股定理，不難得到：![]()
由於拋物線是不確定的，題中所敘述的P點其實與拋物線無關，也就只是說符合條件OB×CD＝6的P點，均能找到a、b使拋物線y=ax2+bx過P點且滿足題中條件. 將等式s=1/t+t/6進行去分母，可得：6st=6+t2，整理成關於s的一元二次方程，得：t2－6st+6＝0，由於t>0，所以關於t顯然有實數根，因此有△＝(－6s)2－4×1×6＝36s2－24≥0，即s2≥2/3，由於s＞0，所以s≥√6/3.……![]()
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如圖，拋物線y=ax2+bx(a>0，b<0)交x軸於O、A兩點，頂點爲B.（1）直接寫出A，B兩點的座標（用含a、b的代數式表示）；（2）直線y=kx+m（k>0）過點B，且與拋物線交於另一點D（點D與點A不重合），交y軸於點C，過點D作DE⊥x軸於點E，連接AB，CE，求證：CE∥AB；（3）在（2）的條件下，連接OB，當∠OBA＝1200，√3/2≤k≤√3時，求AB/CE的取值範圍.![]()
(2)若用原頂點B的座標代入直線解析式中，計算顯然非常大，爲此將原拋物線與直線解析式進行改造，如下： 拋物線的頂點B設爲(h，d)，則拋物線爲y=a(x－h)2+d，將原點（0，0）代入，得ah2+d=0，得到d=-ah2 ，所以拋物線爲y=a(x－h)2-ah2.而直線y=kx+m經過點B，代入，得d=kh+m，得m=d-kh，所以直線爲y=kx+d-kh=k(x-h)+d，即y=k(x-h)－ah2.如下圖示： ![]()
得yC=－kh－ah2，因k<0，顯然有yC<0.![]()
BF＝－yB=b2/(4a),AF=OF=xB=－b/(2a).得ah=－b/2，得tan∠OEC＝tan∠BAF(3)當∠OBA＝120°時，得∠BAF＝300，由上述知：tan∠BAF＝－b/2，得b=－2√3/3.![]()
已知直線y=x+t與雙曲線y=k/x (k>0)交於C、D兩點，過C作CA⊥x軸於點A，過D作DB⊥y軸於點B，連接AB.(3)已知點D(3,2)，且C、D在拋物線y=ax2+bx+5(a≠0) 上，若當m≤x≤n(其中mn<0)時，函數y=ax2+bx+5的最 小值爲2m，最大值爲2n，求m+n的值．（1）常規題，含多個參數，但需耐心計算：答案如下：![]()
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設A(p，0)，B（0，n）．且p≠n．代入直線解析式，得C(p，p+t)，D(n-t，n)．又因點C、D在雙曲線y=k/x上，所以p(p+t)=n(n-t)．即p2+pt=n2-nt．得(p+n)t＝- (p+n)(p-n)．因p≠n，得p-n≠0．所以p+n=0．得p=-n．(根據“0乘以任何數均爲0”)又當t=n時，代入上式p(p+t)=n(n-t)，得p=n=0，得C（0，t），不合題意，捨去．此時A（-n，0），B(0，n)，易求得直線AB爲y=x+n．又直線CD爲y=x+t．t≠n．所以直線AB∥CD．如下圖示，易證S△CDB＝S△ODB＝|k|/2．同理S△CDA＝|k|/2，所以S△CDB＝S△CDA．由面積公式，得BE＝AF，且BE∥AF，進一步，得四邊形ABEF爲矩形．（3）當點D（3，2）時，不難求得直線與雙曲線的解析式分別爲y=x-1或y=6/x．進一步（聯立兩解析式），得C（-2，-3）．將點C、D的座標代入拋物線y=ax2+bx+5 (a≠0) 的解析式，可求得拋物線爲y=-x2-2x+5=-(x-1)2+6．其對稱軸爲直線x=1．由mn<0且m≤x≤n，知：m<0，n=0．![]()
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在平面直角座標系xoy中，已知點A．若對點A作如下變換： 第一步：作點A關於x軸的對稱點A1；第二步：以O爲位似中心，作線段OA1的位似圖形OA2，且相似比OA2/OA1＝q，則稱A2是點A的對稱位似點．（1）若A（2，3），q=2，直接寫出點A的對稱位似點的座標；![]()
①當k=1/2時，判斷E（1，－1）是否爲點N的對稱位似點，請說明理由；②若直線l與拋物線C交於點M（x1，y1）（x1≠0），且點M不是拋物線的頂點，則點M的對稱位似點是否可能仍在拋物線C上？請說明理由．【題幹解讀】理解題意（新定義）和位似的定義與性質，體會定義中的前後點的聯繫與特徵，尤其是當q的值變化時，對應的A2與A1之間的變化規律（所包含的函數關係）．可以發現直線A1A2必經過原點，並且：![]()
（ⅱ）而拋物線C的解析式中只含有一個參數m，二次項係數爲定值-1/2，所以當m改變時，相當於拋物線平移，同時拋物線C的對稱軸爲x=m，頂點座標爲（m，-2+m2/2）．即拋物線C與直線l的另一個交點M的橫座標xM＝2(m-k)．（上述結論在最後一問的解答需要用到，而且恰好是解題的關鍵）(本小題計算量不大，也可直接求解點N的座標，如下：當k=1/2時，直線l爲y=x/2-2，此時yN＝2k－2＝－1，代入直線l的解析式，得xN=2，所以N（2，-1）．)【法一】因點N關於x軸的對稱點N1（2，1），根據定義，N點的位似點應爲(2t，t)(t爲任意實數，用t代替q，避免分類)，進一步，得：N點的位似點應在直線y=x/2上（原點除外）．顯然E（1，-1）不在直線y=x/2上，所以當k=1/2時，點E（1，-1）不是點N的對稱位似點．【法三】N1的求法與法一相同．不難求得直線N1E的解析式，但直線N1E不經過原點，……（可參考【題幹解讀】的說明）．②由【又題幹解讀】知：所以或．且拋物線C的頂點座標爲（m，-2+m2/2），直線l與拋物線C交於點M的橫座標xM＝2(m-k)．當m=2k時，代入直線解析式，得M（2k，2k2-2），此時時拋物線C的頂點爲（2k，2k2-2），不合題意（點M不是拋物線的頂點），捨去．（關於t的方程有實根，即存在t的值，符合題意）．由k2≤1/16與k＜0，得-1/4≤k<0．即當-1/4≤k<0時，點M的對稱位似點仍在拋物線C上．![]()
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【例9】（2018·泰州）平面直角座標系中，橫座標爲a的點A在反比例函數y1=k/x (x＞0)的圖像上.點A′與點A關於點O對稱，一次函數y2=mx+n的圖像經過點A′.
（3）設m=1/2，如圖②，過點A作AD⊥x軸，與函數y2的圖像相交於點D，以AD爲一邊向右側作正方形ADEF，試說明函數y2的圖像與線段EF的交點P一定在函數y1的圖像上.![]()
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【例10】（2018·金華）如圖，四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數y=m/x與y=n/x (x＞0，0＜m＜n)的圖象上，對角線BD∥y軸，且BD⊥AC於點P．已知點B的橫座標爲4．②若點P是BD的中點，試判斷四邊形ABCD的形狀，並說明理由．（2）四邊形ABCD能否成爲正方形？若能，求此時m，n之間的數量關係；若不能，試說明理由．![]()
（1）當m=4，n=20時，兩函數的解析式爲y=4/x和y=20/x，當x＝4時，對應的函數值分別爲1和5，所以B（4，1），得D（4，5），①當點P的縱座標爲2時，即當y=2時，對應的x的值分別爲2和10，所以A（2，2）、C（10，2）．![]()
②當點P是BD的中點時，P（4，3），類似地，當y=3時，對應的x的值分別爲4/3和20/3，即A（4/3，3），B（20/3，3），從而PA＝xP－xA=4-4/3＝8/3，PC＝xB－xP=20/3-4＝8/3，所以PA＝PC，又P是BD的中點，所以ABCD是平行四邊形，又因BD⊥AC，所以四邊形ABCD爲菱形．（2）若四邊形ABCD爲正方形，則必須滿足ABCD是菱形，且BD＝AC．由於BD⊥AC，所以只需滿足PA＝PB＝PC＝PD即可．不妨設P（4，t），PA＝PB＝PC＝PD＝a≠0，則A（4-a，t），C(4+a，t)，B(4，t-a)，D(4，t+a)，如下圖示：![]()
