600多頁證明

曉查 發自 凹非寺

量子位 報道 | 公衆號 QbitAI

abc猜想，數學界懸而未決的重要猜想，它的證明過程經過8年的同行評審，終於要在期刊上發表了。

論文作者是日本的天才數學家 望月新一 ，他33歲起就在京都大學擔任數學教授。

這一次望月新一的證明，全篇超過 600頁 ，2012年就已發表，但足足經過了 8年 的同行評審才通過，期間開過多次研討會——但依然有很多數學家無法理解。

據說，這篇論文全球只有十幾位數學家深入研究了證明過程。

許多數學家根本無法指出證明過程是對是錯，因爲根本看不懂。

4月3日，日本京都大學召開了新聞發佈會，宣佈 望月新一 證明了它。包括Nature等在內的權威科學傳媒組織，也這一重要進展進行了報道。

望月新一沒有出席昨天的發佈會，他的另外兩位同事說，當他知道自己的論文被接收，終於鬆了一口氣。多年來他從未在公衆場合露面。

但也不是沒有爭議，因爲當初接收論文的期刊——日本的PRIMS，主編正是望月新一本人。

如果他的證明是正確的，那麼將徹底改變數論。

同時也正因爲如此，纔有了學界長達8年的爭論。

什麼是abc猜想？

abc猜想，最初由法國數學家 約瑟夫·奧斯特萊 和 大衛·馬瑟 ，在1985年提出。

並且一經提出，abc猜想就成爲數論領域的重要猜想之一。

只是和哥德巴赫猜想不同的是，向大衆說明abc猜想本身，就是一個複雜的過程。

大概如下：

有三個互質正整數a、b、c，且c=a+b。所謂互質，即它們的最大公約數是1。

因此8 + 9 = 17、5 + 16 = 21是符合條件的一組數字，但是6 + 9 = 15不是。

接着，我們把abc的質因數都提取出來，比如5、16、21的質因數是5、2、3、7，這些質因數相乘的結果爲210，這個數比原來的三個數大得多。

又比如5、27、32，它們的質因數是5、3、2，相乘結果爲30，就比32小。

但第二種情形極爲罕見。如果a和b都是小於100的數，我們能找到3044個符合條件的abc組合，其中只有7組滿足第二種情形。

而abc猜想要證明的，就是符合第二種情形的abc組合，只有有限個。

數學家們把abc的質因數乘積記作 rad(abc) 。用嚴謹的數學語言來表述就是：

對於任何ε>0，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得：

c > rad(abc)1+ε

費馬大定理迎刃而解

在人類短期內沒法證明的abc猜想的情況下，科學家們想到了一個辦法，就是用計算機暴力解決，從小到大依次尋找符合abc猜想第二種情形的組合。

由此衍生出了一個分佈式計算項目 ABC@Home ，就是通過全球各地的電腦窮舉計算符合abc猜想條件的三元數組。到2014年5月，人們已經驗證了2380萬個組合。

雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是數學家希望藉着該計劃發現的三元數組的分佈模式。

之所以花費大量計算資源去驗證，是因爲abc猜想在數學界有着重要意義。

和黎曼猜想一樣，很多數學領域後續的一些假設都依賴於前者。如果前者得到證明，後者就能輕易得出。

abc猜想的形式是a+b=c，著名的費馬大定理形式是xn+yn=zn，二者非常相似，實際上二者也是強關聯。

如果abc猜想爲真，那麼費馬大定理也可以輕鬆證明。

當年費馬一句“空白太小寫不下證明”，讓這一問題從1637年一直拖到1995年才得以解決。

而通過abc猜想來證明費馬大定理的方法，真的能讓空白處就能寫下證明過程。

所以望月新一這一次，真的做到了嗎？

證明過程極具爭議

望月新一發表了4篇論文來證明這一猜想，他把自己的研究成果叫做“宇宙際Teichmuller理論”。

按照望月新一的說法，該理論是用於橢圓曲線數字場的Teichmuller理論的算術版本，裏面包含了像 霍奇劇院 （Hodge theaters）這樣奇怪的名字。

望月新一的理論並未得到學界廣泛認同，600多頁的證明被來自德國波恩大學的兩位德高望重的數學家質疑。

2018年菲爾茲獎得主、馬普所數學研究所所長 Peter Scholze 說：“我認爲abc猜想仍未解決，任何人都有機會證明這一點。”

Scholze和他的同事Jakob Stix還曾發表一篇報告，指出在望月新一第三篇論文中“推論3.12”證明過程從根本上來說是有缺陷的。

而該推論對abc猜想的證明至關重要。

和其他部分引理的證明不同，3.12的證明尤其長，總共有9頁。Scholze認爲這9頁證明達到了根本無法遵循邏輯的地步。

Scholze在2018年到京都大學進行了爲期一週的訪問，與望月新一探討了這個問題，但雙方誰也說服不了誰。

Scholze說：“我認爲，除非望月新一進行一些非常實質性的修改，並更好地解釋這一關鍵步驟，否則不應該將其視爲證明。”

“我真的沒有看到一個使我們更接近abc猜想證明的關鍵思想”，Scholze還補充道。

望月新一的論文也引起了陶哲軒的關注，在當年論文發表的第一時間，陶哲軒就在個人博客中談到的自己看法，並給出了另一種啓發式證明方法。

望月新一研究領域並不是陶哲軒的擅長，所以他之後一直迴避對此評論。

這篇論文被期刊接收，並不是abc猜想的終點，也無法讓數學家站到望月新一這一邊，新的爭論還會繼續下去。

關於望月新一

最後，簡單介紹一下這位日本天才數學家。

望月新一，1969年出生於日本東京都，5歲隨父母前往紐約，16歲就進入普林斯頓大學，3年讀完本科，23歲獲得博士學位，33歲成爲京都大學教授。

他現在是京都大學數理解析研究所教授。研究數論，包括算術幾何，霍奇理論和遠阿貝爾幾何。

有意思的是，還有人曾猜測，望月新一就是比特幣發明人“中本聰”。

不過這種猜測的疑點很多，因爲比特幣用到的密碼學不是望月新一的研究方向，而且他作爲一個純粹的數學家，對現實世界的問題也不太關心。

最後的最後，如果你對望月新一這一abc猜想證明有其他看法，也歡迎告訴我們。

參考資料：

https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2

https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/

https://futurism.com/the-byte/mathematicians-shocked-paper-published

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