參與：張倩、小舟、蛋醬

四維空間是什麼？三個空間維度加一個時間維度？不，那是四維時空，跟四維空間是兩個不同的概念。

四維空間的第四個維度也是空間維度，和我們熟知的 x、y、z 屬於同一性質。

作爲一個三維世界的生物，人類是很難想象出四維空間的，就像一個困在二維空間裏的人無法想象三維空間一樣。

對於這個二維世界的小人來說，一個三維世界的物體是神祕莫測的，它會時而變換形態，時而消失，因爲該物體轉換了角度或移動到了第三個維度。所以，對於一個沒有上帝視角的二維世界小人來說，預測三維物體的移動軌跡、形狀變化着實有點困難，因爲他只能看到一條條變幻莫測的線。

同理，在一個四維空間裏，我們就變成了那個可憐的小人，眼前的四維物體似乎和三維物體沒什麼兩樣，但當它們在四維空間自由移動、碰撞時，我們也會發現它們時而變換形態，時而消失不見。

這種情景我們通常只會想象一下，畢竟在現實生活中是體驗不到的。但也有人對此興味盎然，將其搬到了遊戲世界中，甚至還憑藉遊戲的論文中了計算機圖形學頂會 SIGGRAPH。

在這篇論文中，研究者提出了一個適用於任何空間維度的剛體動力學公式。用幾何代數來描述剛體的狀態和運動方程。他將碰撞檢測算法擴展到維，解析了物體之間的碰撞和接觸。雖然作者實現的是四維，但該方法可以擴展到任意維度。他通過這些四維剛體的三維截面來展示他們，用戶可以實時操縱這些物體。

不同於常見的研究，這篇 6 頁的論文充滿了各式各樣的幾何代數公式。在雙盲審稿過程中，一位審稿人對該論文的評價是：「異想天開（whimsical）」。

大部分研究工作都是從 2012 年開始的，但作者也根據審稿人的建議增加了關於神祕翻轉（Dzhanibekov effect）的部分。

在此之前，物理模擬一直集中並侷限於二維和三維的情況。但作者提出，使用所需方程式的恰當公式，就有可能將它們推廣到更高維度。幾何代數提供了一個簡單的與維度無關的公式，可以實時操作相互碰撞的 n 維物體，就好像它們是真實的物體一樣。這使得這些高維物體不那麼抽象，和大多數人對它們的體驗形成鮮明對比。

這篇論文的貢獻在於：

1、將基於幾何代數的經典三維剛體動力學公式推廣到了 n 維。通過將幾何代數算子表示爲矩陣，以一種簡單的方式構建、對角化（diagonalize）、轉換任意 n 維簡單網格，無論這個 n 是多少。這樣一來，就可以在 n 維中建立歐拉方程，比如研究四維歐拉方程在無力矩條件下的情況。

2、計算 n 維中的碰撞和接觸處理過程，包括靜摩擦和動摩擦。作者給出了 Minkowski 差分法和基於幾何代數的分離軸定理碰撞檢測方法的 n 維公式。

3、提出了一種類似於我們對現實三維空間體驗的四維物體互動方法。

也許這篇論文最大的意義在於，它爲我們提供了一種從側面瞭解四維空間的方式。

基於這篇論文中提到的技術，論文作者 Marc ten Bosch 開發了兩款遊戲，上面動圖展示的就是其中一款遊戲——「4D Toys」。這款遊戲旨在以三維視角展示四維物體在四維空間裏的特性。有人表示，該遊戲就像在向一位盲人解釋顏色的含義。目前，該遊戲已經在 Steam、IOS 等平臺上線。

除此之外，他還打造了另外一款 4D 遊戲「Miegakure」。在這個遊戲中，一系列平行的 3D 世界因謎題而串聯在一起，玩家可用視角轉換的方式觸發穿越機制，到達其他的 3D 場景。

在 SIGGRAPH 2020 技術論文專場，作者也將詳細介紹 4D Toys 和 Miegakure 遊戲。對於 Miegakure 的老粉來說，論文被大會接收也令他們激動不已：

還有人表示：「終於等到點書面的資料了，感覺 follow 這項研究已經有十年了！」

估計這也是 SIGGRAPH 2020 技術論文計劃開展以來，史上第一項介紹獨立遊戲的研究吧。

論文地址：https://marctenbosch.com/ndphysics/NDrigidbody.pdf

論文介紹界面：https://marctenbosch.com/news/2020/05/siggraph-2020-technical-paper-n-dimensional-rigid-body-dynamics/